Page 116 - Echte wiskunde

104 P.W. Hemker
Merk op dat uit de eerste eis in de definitie al volgt dat ⟨x,x⟩ reëel is voor alle x ∈ R. Het inproduct is dus een lineaire operator in de eerste component, en een anti-lineaire operator in de tweede. Zo’n operator (lineair in de eerste en anti-lineair in de tweede) wordt ook wel sesquilineaire operator genoemd. Een bilineaire operator is lineair in beide operanden.
Voor het inproduct hebben we dus ook ∀x, y1, y2 ∈ R, β1, β2 ∈ C
⟨x,β1y1 + β2y2⟩ = ⟨β1y1 + β2y2,x⟩ = β1 ⟨x,y1⟩ + β2 ⟨x,y2⟩.
We zullen aantonen dat een lineaire ruimte met inproduct ⟨·, ·⟩ tevens een genormeerde ruimte
is met norm
√
∥x∥ = ⟨x, x⟩ . (3.10) Stelling 3.7.2. Zij R een lineaire ruimte met inproduct ⟨·, ·⟩ , dan geldt
∀x,y ∈ R |⟨x,y⟩| ≤ ∥x∥ · ∥y∥. (3.11)
Opmerking 3.7.3. De ongelijkheid (3.10) heet de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz of van Cauchy-Boenjakowski. Het bewijs verloopt, afgezien van de complexiteit van R, als in het geval van de reële ruimte Rk.
Bewijs: Neem twee punten x,y ∈ R. We mogen aannemen ⟨x,y⟩ ̸= 0. We onderzoeken de kwadratische vorm (τ ∈ C)
Q(τ) = ∥x+τy∥2 =⟨x+τy,x+τy⟩
= ⟨x,x⟩ + τ⟨y,x⟩ + τ⟨x,y⟩ + |τ|2⟨y,y⟩
Voor willekeurige τ is Q(τ ) reëel en groter dan 0. De termen τ ⟨y, x⟩ en τ ⟨x, y⟩ zijn elkaars complex geconjugeerden. Kiezen we τ = ⟨x,y⟩ t met t ∈ R, dan krijgen we
|⟨x,y⟩|
Q(τ) = ∥x+τy∥2 =⟨x+τy,x+τy⟩
= ⟨x,x⟩ + τ⟨y,x⟩ + τ⟨x,y⟩ + |τ|2⟨y,y⟩
= ⟨x,x⟩ + 2t |⟨x,y⟩| + t2⟨y,y⟩ ≥ 0
Voor de determinant van de kwadratische vorm geldt dus
|⟨x,y⟩|2 −⟨x,x⟩ ⟨y,y⟩ ≥0 ofwel |⟨x, y⟩| ≤ √⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩. Daarmee is (3.11 bewezen.
Stelling 3.7.4. De vorm ∥x∥ = √⟨x, x⟩ is een norm op R.
Bewijs: Uit de eigenschappen van het inproduct volgt direct dat ∥x∥ ≥ 0 en ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0. Verder is
∥αx∥2 = ⟨αx, αx⟩ = |α|2 · ∥x∥2 ,
Tenslotte is wegens Stelling 3.7.2 (we merken op dat ⟨x, y⟩ + ⟨y, x⟩ reëel is!)
Dus ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥.
dus ∀α∈C,x∈R ∥αx∥ = |α| · ∥x∥.
∥x + y∥2 =
≤ ⟨x,x⟩ + ⟨y,y⟩ + 2|⟨x,y⟩|
⟨x,x⟩ + ⟨y,y⟩ + ⟨x,y⟩ + ⟨y,x⟩
≤ ∥x∥2 +∥y∥2 +2∥x∥ ∥y∥ = (∥x∥+∥y∥)2 .