Page 4 - E-book Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA

Perlu kalian garis bawahi bahwa, dengan induksi matematika dapat dilakukan
pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan
bilangan asli bukan untuk menemukan formula (rumus).

Prinsip Induksi Matematika
Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar
jika memenuhi langkah berikut ini:
a. Langkah Awal (Basic Step) : P(1) benar.
b. Langkah Induksi (Induction Step) : Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar,
untuk setiap k bilangan asli.

Secara ringkas, prinsip induksi matematika dalam langkah pertama yaitu langkah awal,
kalian diminta untuk membuktikan P(n) benar untuk n=1. Setelah proses pada langkah
awal terpenuhi selanjutnya dapat dilakukan langkah kedua yaitu langkah induksi. Pada
langkah ini jika kita asumsikan bahwa P(k) benar, maka akan ditunjukan bahwa P(k+1)
juga benar. Jika P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka P(n) terbukti
benar. Jika salah satu dari kedua prinsip induksi matematika tidak terpenuhi maka P(n)
salah.

CONTOH SOAL 1 :

2
Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n-1) = n untuk setiap n bilangan
asli. !

Pembahasan :
Akan ditunjukkan bahwa P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika.
a. Langkah awal

Untuk n=1 maka
P(1) ↔ 1 = 1 2
↔ 1 = 1
b. Langkah induksi

2
 Karena P (1) benar, maka P(2) ↔1 + 3 = 2 ↔ 4 = 4 (juga
benar). Demikian seterusnya hingga dapat disimpulkan bahwa
untuk n = k
P(k) = 1 +3 + 5 + 7 + ...+ (2k-1) = k adalah benar.
2
 Selanjutnya, akan dibuktikan untuk n = k+1 juga benar.

2
P (k+1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ (2k-1) + [2(k+1)-1] = (k+1)
k
2

P (k+1) = k + [2(k+1)-1] = (k+1)
2
2
2
2
= k + (2k +1) = (k+1)

2
2
= k + 2k + 1 = k + 2k + 1 ( terbukti benar ).
2
Jadi, terbukti bahwa, P (n) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n adalah
benar untuk setiap n bilangan asli.

Matematika Kelas XI/2