Page 11 - XI_Matematika-Umum_KD-3.1

b
jug
erse
ut dina
hi
kan
ma
an b
ar
. Pemisal
ahwa
enar t
b
a ben
pot
maka ( + 1) juga benar. Pemisalan bahwa ( ) benar tersebut dinamakan hipotesis esis
induktif.
Contoh 1.
Buktikan deng an induk si ma te ma t ika bahwa j u ml a h bilang an g anj il pos it if yan
Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang g
pertama sama dengan n .
pertam a sa ma den gan 2
Jawab
Ki ta keta hu i pola bil ang an g anj il pos it if adal ah (2 bilang an asl i.
Kita ketahui pola bilangan ganjil positif adalah (2n – 1) untuk n bilangan asli.
. . + (
1 + 3
7 + .
ita tunjukk
2
ah
an b
+ 5 +
Ak
Akan kita tunjukkan bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n 2
wa:
an k
aan
h per
s
am
Misalkan P(n) adalah persamaan
) adala
2
P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n .
naran
em
e
iki
yelid
s men
Untuk membuktikan kebenaran pernyataan P(n), kita harus menyelidiki apakah akah P(n)
Untuk m
ap
bukt
yataan
pern
), ki
ta haru
ikan keb
insip induk
ah dasar
k
lang
kah ind
lang
dan
at
i m
s
itu
a
ematika, y
memenuhi prinsip induksi matematika, yaitu langkah dasar dan langkah induksi.uksi.
hi
pr
memenu
memenu hi pr insip induk s i m at ematika, y a itu lang k ah dasar dan lang kah ind uksi.
 Langkah dasar
Ak an d itu nj ukkan bahwa
Akan ditunjukkan bahwa (1) bernilai benar.
aka
2
= 1, m
Untuk n = 1, maka P(1) = 1 = 1 = 1.
gk
Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai)
ah das
ai
Lan
(1) b
enar. (
b
ernil
sai)
ar
le
se
 Langkah induktif
induktif
an asli
Ak
itu
ila

untuk sebar
ng
an d
b
ang
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli = ≥ 1≥ 1, jika ( ) bernilai
ukkan
bahwa
nj
benar maka ( + 1) juga bernilai benar.
+ 1)
an a
s
bern
umsi

kan
ila
ntuk
r u
se
s
Misalkan bahwa ( ) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli li =
i bena
baran
g
dia
bilang
≥ 1, yaitu
( ) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2 − 1) = 2
Sel
a akan
bahwa unt
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk = + 1 maka ( + 1) juga bernilai
uk
utny
dit
unj
anj
ukkan
benar, yaitu
( + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2 − 1) + (2( + 1) − 1) = ( + 1) 2
= 1
+
+ 3 + 5 + 7
b
Karena ( ) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2 − 1) = adalah pernyataan yang benar, enar,
+ 7 +
2
adalah
p
erny
= 1 + 3 + 5
ataan y
ang
ka dar
i rua
s kir
i
ma
maka dari ruas kiri ( + 1) diperoleh:
(
1 3  5  7 ...  (2k 1)  (2(k 1) 1)  1 3  5  7 ...  (2k k 1)  (2(k 1) 1)
2
P(k )
2
 k  (2k  2 1)
2
 k  2k 1
 (k 1) 2
duktif
ang
be
(L
rnilai
Kedua ruas dari ( + 1) sama, maka ( + 1) bernilai benar. (Langkah induktif

.
ar
ben
kah
in
selesai)
a
ip
m
sa
enur
sa
a
ip
k
k
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah selesai, maka menurut prinsip
m
ma
ut
Karena
ma
ut
Karena
prins
i,
i,
enur

prins

lang
lang
an
lang
lang
indukt
indukt
kah
kah
das
das
kah
kah
ar
d
an
ar
d
if
d
su
ele
ah
su
s
s
ah
ele
if

d
ma
s
t
i
at
2
terbu
em
i
bahwa:
induksi matematis terbukti bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2 − 1) = untuk
induks
kti
jil
i
f
i
t
an
pos
baran
g
an
se
bil
sebarang bilangan asli ≥ 1. Jadi disimpulkan bahwa jumlah n bilangan ganjil positif
ang
asli
bilang
gan
n
a deng
2
m
a
yang pertama sama dengan n , dengan n bilangan asli.
10