Page 13 - XI_Matematika-Umum_KD-3.1

2
k  3k  2

2
(k  1)(k  2)

2
. (L
ber
Kedua ruas dari ( + 1) sama, maka ( + 1) bernilai benar. (Langkah induktif uktif
ang
enar
nilai

kah ind
b
selesai)
me
da
sa
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menuruturut prinsip induksi
r
n
n(n  1)
matematis terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + =
ma te ma t is terb ukti bahw a untuk s ebaran
untuk sebarangg bilangan
2
asli ≥ 1.

Contoh 3.
Buktikan dengan induksi matematika bahwa
t
ma
ika bahwa
Buktikan
an induk
te
ma

si
deng
n
 1 n
 
i1 (2i 1)(2i 1) 2n 1
bilang
an as
li.
untuk setiap n bilangan asli.
Jawab
n

Misalkan P(n) =  1  n
i1 (2i 1)(2i 1) 2n 1
(2
 Langkah dasar
bahwa
an d
Akan ditunjukkan bahwa (1) bernilai benar.
Ak
ukkan
itu
nj
iperoleh
= 1, d
Ambil n = 1, diperoleh
1 1
P (1)  

)
1
(
(
(2(1)1)(2(1) 1) 2(1) 1
1
)
2
1 1

3 3
le
ah das
sai)
gk
se
ar
Lan
enar. (
ernil
ai
Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai)
(1) b
b
 Langkah Induktif
Induktif
ukkan
an d
ng
an asli
untuk sebar
itu
ang
nj
ila
b

bahwa
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli = ≥ 1≥ 1, jika ( ) bernilai
Ak
+ 1)
benar maka ( + 1) juga bernilai benar.
baran
s
g
ila
se
ntuk
r u
i bena
dia
Misalkan bahwa ( ) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli li =
umsi

s
bern
kan
bilang
an a
≥ 1, yaitu
k

P(k)   1  k
i1 (2i 1)(2i 1) 2k  1
Sel
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk = + 1 maka ( + 1) juga bernilai
dit
bahwa unt
utny
unj
uk
anj
ukkan
a akan
benar, yaitu
k 1 1  k 1 k 11

P(k 1)    
i1 (2i 1)(2i 1) 2(k 1) 1 2k  3
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:
k
k 1 1 1 k 1 k 1 1

    
i1 (2i 1)(21)(2i 1) i1 (2i 1)(2i 1) ik1 (2i 1)(2i 1)
P(k )
12