Page 12 - XI_Matematika-Umum_KD-3.1

Contoh 2.

Buktikan bahwa j u ml a h bilang an asl i yang pertam a sa ma den n(n  1) .
Buktikan bahwa jumlah n bilangan asli yang pertama sama dengangan
2
Jawab
ntuk
se
a u
ibuktikan b
ahw
baran
s
g
li
an a
bilang
Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli ≥ 1, maka
Ak
an d
( + 1)
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + =
2
ada
Misalkan ( ) adalah persamaan
samaan
lah per
( + 1)
( ) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + =
2
 Langkah dasar
an d
itu
Akan ditunjukkan bahwa (1) bernilai benar.
ukkan
bahwa
Ak
nj
1(1  1) 2
aka rua
= 1, m
s ki
ri
Untuk n = 1, maka ruas kiri P(1) = 1 dan ruas kanan P(1) =   1.
22 2
ai
b
se
ar
sai)
le
Lan
enar. (
ah das
gk
ernil
Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai)
(1) b
 Langkah induktif
induktif
untuk sebar
itu
an d
ang
b

ila
Ak
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli = ≥ 1≥ 1, jika ( ) bernilai
bahwa
nj
an asli
ukkan
ng
+ 1)
benar maka ( + 1) juga bernilai benar.
baran
i bena
kan
Misalkan bahwa ( ) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli li =
bern
ntuk
r u
se
ila
umsi
s
bilang
an a
g
s
dia

≥ 1, yaitu
( + 1)
( ) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + =
2
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk = + 1 maka ( + 1) juga bernilai
Sel anj utny a akan dit unj ukkan bahwa unt uk
benar, yaitu
( + 1)((( + 1) + 1)
( + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + + ( + 1) =
+ 2 + 3 + 4
+
= 1
2
atau eku
ivalen den
gan
atau ekuivalen dengan
( + 1+ 1)( + 2)
+ 1
( + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + + ( + 1) =
2
k (k  1)
+ 4 +
Karena ( ) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + = adalah pernyataan yang benar,enar,
= 1 + 2 + 3
p
b
erny
ataan y
ang
2
ma ka dar i rua s kir i
maka dari ruas kiri ( + 1) diperoleh:
1 2  3  4 ...  k  (k 1)  1 2  3  4 ...  k   ((k 1)

P(k )
k(k  1)
  (k  1)
2
k(k  1) 2(k  1)
 
2 2
2
k  k 2k  2
 
2 2
11