Page 37 - 级期末冲刺抢分营

U-can 1v6

2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都

是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b） （n 为正整数）的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）
n
的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应（a+b） ＝a +2ab+b 展开式中的系数；第四行的四个数
2
2
2
1，3，3，1，恰好对应（a+b） ＝a +3a b+3ab +b 展开式中的系数…
2
2
3
3
3
6
（1）（a+b） 的展开式中的最大系数是 ；
4
（2）请写出（a+2b） 的展开式；
4
3
2
5
（3）请根据上面的规律计算 2 ﹣5×2 +10×2 ﹣10×2 +5×2﹣1 的值．

3．探究等式规律：
第 1 个等式： 2 3 4   3 2

第 2 个等式： 3 4 5 6 7     5 2

第 3 个等式： 4 5 6 7 8 9 10       7 2

……
按照以上规律，解决以下问题：

（1）填空：第 4 个等式： 5 6 7 8 9 10 11 12 13         ；

（2）试写出第 5 个等式： ；

1
（3）写出你猜想的第 n 个等式（ n  ，且 n 为整数） ；
( n n  1)n  1)
( n
1
（4）我们知道 S  1 2 3S      n n   2 2 （ n  ，且 n 为整数）。爱学习的小明提出：如果适当替换，可以得到
…


1 2 3 
1 1
( n n  (2n
2 1) 1)n 
S S  1 2 3 1 2 3  2n     n   2 2 。爱思考的小红又提出：利用 S  S 1 ，我们还可以求出新的式子
…


1 2
2
2
n
2 (2n  1) ( n n  1) 3n  n

S  S  S  (n  1) (n  2)    2n  2  2  2
3
2
1
老师及时肯定了小明和小红两位同学的想法，请利用上述信息尝试证明（3）的等式.
此去经年，愿你所得皆所期、所失亦无碍 第 36页 / 共 75页