Page 37 - Aritmetica 1° Sec GM

Propiedades de los Números

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

teorema fuNdameNtal de la aritmética Observación

Todo número mayor que la unidad se puede descomponer en factores pri-
mos diferentes elevados a exponentes naturales. Esta descomposición es
única y se llama descomposición canónica. Cantidad de divisores
DN = D primos + D compuestos + 1
Problema 4
2
Exprese la descomposición canónica de los números: 48; 60; 84 y 405.  28 = 2 ×7
Resolución: D28 = (2 + 1)(1 + 1)
• 48 2 • 60 2 • 84 2 • 405 3 = 3×2 = 6
24 2 30 2 42 2 135 3
12 2 15 3 21 3 45 3 D primos : 2; 7  2
6 2 5 5 7 7 15 3 D compuestos : 4; 14; 28  3
3 3 1 1 5 5
1 1 Donde:
4
2
4
2
48 = 2 ×3 60 = 2 ⋅3⋅5 84 = 2 ⋅3⋅7 405 = 3 ⋅5 D28 = 6 = 2 + 3 + 1
primos primos primos primos
caNtidad, suma y producto de divisores
Analicemos los divisores de 720:

• Cantidad de divisores (DN) Ten presente
720 2 D720 = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) ⇒ D720 = 30
360 2 Suma de los divisores Resuelve problemas de cantidad (Aritmética)
180 2 • Suma de los divisores (SDN) múltiplos de 
90 2 720 = 2 ·3 ·5 1 2 4+1 –1 3 2+1 –1 5 1+1 –1
4
2
45 3 SD720 = 2 – 1 ⋅ 3 – 1 ⋅ 5 – 1 • ¿Cuánto suman los diviso-
15 3 Divisores primos res múltiplos de 6, de 84?
2
5 5 SD720 = 31⋅13⋅6 ⇒ SD720 = 2418 84 = 2 ×3×7 = 6[2×7]

1 P
• Suma de la inversa de los divisores (SIDN) o
SD84(6) = 6SDP
Total divisores: 30 SID720 = SD720 ⇒ SID720 = 2418 = 403 2 – 1 7 – 2
2
2
 Geniomatic E.I.R.L. Prohibida su reproducción. D. Leg. N° 822
Divisores primos: 3 720 720 120 = 6× 2 – 1 × 7 – 1
Divisores compuestos:
• Producto de los divisores (PDN) = 6×3×8
30 – 3 – 1 = 26
30
PD720 = 720 D720 ⇒ PD720 = 720 = 720 15 = 144
• ¿Cuánto suman los diviso-
Problema 5 II. (V) 12600 = 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 res múltiplos de 12, de 300?
3
2
2
2
2
2
Evalúe las proposiciones: D12600 = 4⋅3⋅3⋅2 = 72 300 = 2 ×3×5 = 12[5 ]

P
I. 12 tiene doble de divisores que 12. Dprimos = 4 SD300(12) = 12SDP
2
o
II. 12600 tiene 67 divisores compuestos. Dcompuestos = 72 – 4 – 1 = 67 3 Prohibida su reproducción total o parcial
III. Si 200 se multiplica por 3 su canti- = 12× 5 – 1
3
2
dad de divisores se duplica. III. (V) 200 = 2 ⋅5 5 – 1
Resolución: ⇒ D200 = 4⋅3 = 12 = 12×31
2
3
2
I. (F) 12 = 2 ⋅3 ⇒ D12 = 3⋅2 = 6 200·3 = 2 ⋅5 ⋅3 = 372
2
4
2
2
12 = 2 ⋅3 ⇒ D12 = 5⋅3 = 15 ⇒ D600 = 4⋅3⋅2 = 24
Se duplica D200
15 no es doble de 6.
Rpta.: FVV
Matemática 1 - Secundaria 37