Page 15 - barisan dan deret
P. 15
Contoh 6.6
Selidiki apakah jumlah n bilangan asli pertama, yaitu 1 + 2 + … + n sama dengan
(
n n +1 ) !
2
Penyelesaian
(
Misalkan pernyataan P(n) = 1 + 2 + … + n = n n +1 ) .
2
Langkah 1
1 1 1)
(
+
Menunjukkan pernyataan tersebut benar untuk n = 1, diperoleh = 1 maka
untuk n = 1 peryataan tersebut benar. 2
Langkah 2
Anggap pernyataan tersebut benar untuk n = k
yakni:
(
k k +1 )
1 + 2 + … + k = .
2
Langkah 3
Akan dibuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1, yaitu:
(k + ( ) + ) 1
1
) (k +1
1 + 2 + … + k + (k + 1) =
2
Bukti:
Dengan menggunakan manipulasi aljabar diperoleh:
(
k k +1 )
1 + 2 + … + k + (k + 1) = + (k + 1)
2
k k +1 ) 2 k ( +1 )
(
= +
2 2
(k +1 ).(k + 2 )
=
2
(k + ( ) + ) 1
). (k +1
1
=
2
(
n n +1 )
Berarti untuk n = k + 1, P(n) = adalah benar.
2
197
Bab 6 Barisan dan Deret
