Page 3 - e modul bismillah

Bukti :
a. =
adalah fungsi pembangkit untuk banyaknya selesaian bilangan bulat

Karena banyaknya selesaian adalah maka koefisien dari adalah , sehingga
diperoleh
=
b. = n
Diketahui
2
2
2
++
++
−
−
(1 x m )(1 xx + ...) (1 xx + ...) x m (1 xx + ...)
++
=
+
) (x +
m
= (1 x +…+ x m− 1 + x + x m+ 1 +… − m x m+ 1 + x m+ 2 +… )
1 xx +
+
= ++ 2 ... x m− 1
Sehingga
) =
2
−
2
(1 xx + ... x m− 1 n ((1 x m )(1 xx + ...)) n
++
+
++
) (1 xx +
= (1 x mn ++ 2 ...) n
−
c. =
Kita tahu bahwa ( Teorema Binomial )
= + +
Untuk , diperoleh
n
 n    n  n
+
) =
)
(1 x− mn     ( x− m ) + 1   ( x− m ) + 2 ...+   ( x− mn
0
n
2
1
       
n
 n   1 m  n 2 2m  n n mn
−
−
+ =
−
    ( 1) x +   ( 1) x + ...+   ( 1) x
2
1
0
n
       
n
 n    n  n
n
m
...
=     x +   x 2m ++   ( 1) x mn
−
−
0
2
1
n
       
d. =
Kita tahu bahwa
2
++
++
2
++
−
(1 x )(1 xx + ...) (1 xx + ...) x (1 xx + ...)
2
−
=
−
+
.
+
= (1 xx + 2 ...)(xx + 2 x + 3 . .)
+
= 1
Sehingga diperoleh
=

Beberapa Defini dan Indentitas
r
1. Koefisien x pada (a 0 + a 1x + … )(b 0 + b 1x + … ) adalah a 0b r + a 1b r-1+…+ a rb 0
2. Teorema Binomial.
n
 n    n  n
...
(1 x+ ) =     x +   x ++   x n
2
+
n
n
1
0
2
       

11
1 2
1 0
 n − + n − +  n − +  n − 1 r+ 
2
r
n
3. (1 xx++ 2 +  ) =    x +  x +  +   x + 
+

 0  1   2   r 
n
) (1 xx +
4. (1 xx++ 2 +  + x m − 1 n (1 x m − 1 n ++ 2  )
) =
−
n

 n    n n n
nm
( ) 1
m
) =
−
5. (1 x− mn     x +   x 2m + +−   x
n
2
1
0
       
1
2
6. = 1 xx +
++
−
(1 x )