Page 5 - e modul bismillah

b. adalah fungsi pembangkit untuk , di mana dan adalah
konstanta

+
+
+
C g () x + Ch () x = C 1 (a + 0 a x a x + 2 2 + a x + n n  ) C 2 (b + 0 bx b x + 2 2 + b x + n n  )
1
1
1
2
= ( a + C ax C a x + 2 + C a x + n  )( b + C b x C b x + 2 + C b x + n  )
C
+
+
C
+
1 0 1 1 1 2 1 n 2 0 2 1 2 2 1 n
C
b
( a + = C 1 0 C 2 0 )( a + C 1 1 C 2 1 ) + ( a + 1 2 C 2 2 )x + 2 + ( a + 1 n C 2 n ) n 
bx
b +
bx +
C

c. (1 – x)g(x) dalah fungsi pembangkit untuk
(1 x ) () = gx gx − ()
() xgx
−
− 
= (a + 0 ax a x + 2 2 + a x + n n ) x (a + 0 ax a x + 2 2 + a x + n n  )
+
+
1
1
− 
+
+
= (a + 0 ax a x + 2 2 + a x + n n )(a x ax + 1 2 a x + 2 3 + a x + n n  )
1
0
= a + 0 (a − 1 a 0 )x + (a − 2 ax + ) 2 + (a − n a n− 1 )x + n 
1
d. xg’(x) adalah fungsi pembangkit dari , di mana g’(x) adalah turunan dari g(x)
2
2
n
n-1
g(x) = a 0 + a 1x + a 2x + …+ a nx + … dan g’(x) = a 1 + 2a 2x + 3a 3x + …+ na nx + …
⋅
x g '( ) = x ( x a + 2a x + 3a x + 2 + na x n− 1 +  )
1 2 3 n
= a x + 2a x + 2 3a x + 3 + na x + n 
1 2 3 n
e. h(x)g(x) adalah fungsi pembangkit untuk (definisi 3.1 hal. 96)
+
+
n
hx ⋅ () g x = () (b + 0 bx b x + 2 2 + b x + n n  )(a + 0 a x a x + 2 2 + a x + )
n
1
1
= ba + 00 (b a + 1 0 ba )x + (b a + 20 ba )x + 2 (b a + + n 0 b a + n− 1 1 ba + 2 2 + b 0 n )x + n 
a
0 1
0 2
n−
= ab + 00 (ab + 0 1 a b )x + (ab + 0 2 a b )x + 2 + (a b + 0 n ab 1 + a b 2 + + a b 0 )x + n
1 n−
1 0
n
2 n−
20
Contoh 3.3.3
a. Carilah fungsi pembangkit dari a n = 2n + 3
2
b. Carilah fungsi pembangkit dari a n = n .
2
2
2
c. Hitunglah 1 + 2 + … + n .

Solusi:
a. Misalkan g(x) adalah fungsi pembangkit dari a n. Dengan menggunakan definisi 6), fungsi
1
pembangkit dari a n = 1 adalah ()gx = , maka g’(x) adalah
1 x
−
gx − 1.( 1)(1 x ) − 1 1
'( ) =
−
−
−
= 1(1 x ) − 2
−
−
= (1 x ) − 2
1
=
(1 x ) 2
−
Berdasarkan proposisi 3.2 (d) bahwa jika g’(x) dikalikan dengan x maka fungsi pembangkit dari n
x
a n adalah . Dari proposisi 3.2 (b) dapat disimpulkan bahwa fungsi pembangkit dari a n = 2n
−
(1 x ) 2
2x 3
+ 3 adalah + .
(1 x ) 2 (1 x )
−
−
x
b. Berdasarkan a) bahwa fungsi pembangkit dari a n = n adalah , maka g’’(x) adalah
−
(1 x ) 2