Page 116 - Mathématiques RAC1 volume 1 2020

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Démonstration du théorème de l'angle au centre et de l'angle inscrit

Si un angle au centre ω intercepte le même arc de cercle qu'un angle inscrit α
alors ω = 2α

Illustration

Démonstration
a) Exprimons tous les angles du triangle ABO

en fonction de β :
Le triangle ABO est isocèle en O
car OA = OB = r (le rayon du cercle)

donc α1 = β
De plus α1 + β + λ = 180 º

⇒λ = 180 º − 2β
(théorème de la somme des angles dans un
triangle)
b) Exprimons tous les angles du triangle
ACO en fonction de γ : Le triangle ACO est isocèle en O car OA = OC = r

(le rayon du cercle) donc 2 α = γ

De plus 2 α + γ +θ = 180 º ⇒ θ = 1180 º − 2γ (théorème de la somme des
angles dans un triangle)
c) Déduisons de a) et de b) que ω = 2α :

ω = 360 º −λ −θ = 2 β + 2 γ = 2 β +γ = 2 α +α = 2α

Cercle de Thalès

Un cercle de Thalès est un demi-cercle dont le diamètre
est l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Autrement dit :
un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.


Car AOC = 180° angle au centre

 180° = 90° angle inscrit interceptant le
ABC =
2
même arc

ES Nyon-Marens BAMV ed 2020 maths Rac1