Page 46 - Microsoft Word - 270 bai tap boi duong hoc sinh gioi toan 9doc.doc

WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU

3
3
3
3
3
3
3
3
b – a = 4(x + y ) – (x + y ) – 3xy(x + y) = 3(x + y ) – 3xy(x + y) =
2
2
2
= 3(x + y)(x – xy + y – xy) = 3(x + y)(x – y) > 0 (vì x > y > 0).
3
3
Vậy b > a , do đó b > a.
236. a) Bất đẳng thức đúng với n = 1. Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có :
-
-
-
-
æ 1 ö n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 n(n 1)...2.1 1
+
ç 1+ ÷ = 1 n. + . 2 + . 3 + ...+ . n
è n ø n 2! n 3! n n! n
æ 1 1 1 ö
< 1 1+ ç + + ...+ ÷
+
è 2! 3! n! ø
1 1 1 1 1 1
Dễ dàng chứng minh : + + ...+ £ + + ...+ =
2! 3! n! 1.2 2.3 (n 1)n
-
1 1 1 1 1 1
= 1- + - + ...+ - = 1- < 1
2 2 3 n 1 n n
-
1
3
n
Do đó (1+ ) <
n
6
3
2
3
3
>
b) Với n = 2, ta chứng minh 3 > 2 (1). Thật vậy, (1) Û ( ) ( ) 6 Û 3 > 2 .
2
2
+
n
Với n ≥ 3, ta chứng minh n > n 1 n 1 (2). Thật vậy :
+
+
+
+
n
n
+
+
+
(2) Û ( n 1 n 1 ) n(n 1) < ( ) n(n 1) Û (n 1) < n n 1 Û (n 1) n < n Û æ 1+ 1 ö n < n (3)
n
+
ç
÷
n
n
n ø
è
æ 1 ö n
Theo câu a ta có 1+ ÷ < 3 , mà 3 ≤ n nên (3) được chứng minh.
ç
è n ø
Do đó (2) được chứng minh.
)
(
4
2
2
2
4
237. Cách 1 : A = 2 x + 1+ x + x + 1 ³ . min A = 2 với x = 0.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
2
2
2
4
4
A ³ 2 (x + x 1)(x - x 1) = 2 x + x + 1 2
+
³
4
+
min A = 2 với x = 0.
2
238. Với x < 2 thì A ≥ 0 (1). Với 2 ≤ x ≤ 4, xét - A = x (x – 2). Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho ba số không âm :
æ x x ö 3
-
A x x ç 2 + 2 + x 2 ÷ æ 2x 2 ö 3
-
-
- = . .(x 2) £ ç ÷ = ç ÷ £ 8
4 2 2 ç 3 ÷ è 3 ø
è ø
- A ≤ 32 Þ A ≥ - 32. min A = - 32 với x = 4.
2
239. Điều kiện : x ≤ 9.
æ x 2 x 2 2 ö 3
-
2
x x 2 ç 2 + 2 + 9 x ÷
2
4
2
2
-
A = x (9 x ) = 4. . (9 x ) 4ç ÷ = 4.27
-
£
2 2 ç 3 ÷
ç
ø
è ÷
max A = 6 3 với x = ± 6 .
240. a) Tìm giá trị lớn nhất :
45 www.MATHVN.com