Page 45 - Microsoft Word - 270 bai tap boi duong hoc sinh gioi toan 9doc.doc
P. 45
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU
a b c d = 1 a b + c d ö ³ 1 ( ab + cd ³ ab. cd = 4
+
+
+
+
+
)
æ
÷
ç
4 2 è 2 2 ø 2 abcd
+
+
+
+
+
æ a b c d ö 4 a b c
Trong bất đẳng thức ç ÷ ³ abcd , đặt d = ta được :
è 4 ø 3
+
+
æ a b c ö 4
+
+
ç a b c + 3 ÷ a b c æ a b c ö 4 a b c
+
+
+
+
+
+
ç ÷ ³ abc. Þ ç ÷ ³ abc. .
ç 4 ÷ 3 è 3 ø 3
è ø
a b c
+
+
Chia hai vế cho số dương (trường hợp một trong các số a, b, c bằng 0, bài toán được
3
+
+
+
+
æ a b c ö 3 a b c
chứng minh) : ç ÷ ³ abc Û ³ 3 abc .
è 3 ø 3
a b c
+
+
Xảy ra đẳng thức : a = b = c = Û a = b = c = 1
3
b c d a 1
233. Từ giả thiết suy ra : + + £ 1- = . Áp dụng bất đẳng thức
b 1 c 1 d 1 a 1 a 1
+
+
+
+
+
1 b c d bcd
Cauchy cho 3 số dương : ³ + + ³ 3. 3 . Tương tự :
a 1 b 1 c 1 d 1 (b 1)(c 1)(d 1)
+
+
+
+
+
+
+
1 ³ 3. acd
b 1 3 (a 1)(c 1)(d 1)
+
+
+
+
1 ³ 3. abd
c 1 3 (a 1)(b 1)(d 1)
+
+
+
+
1 ³ 3. abc
d 1 3 (a 1)(b 1)(c 1)
+
+
+
+
1
³
Nhân từ bốn bất đẳng thức : 1 81abcd Þ abcd £ .
81
x 2 y 2 z 2
234. Gọi A = + + . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
y 2 z 2 x 2
æ x 2 y 2 z ö æ x y z ö 2
2
3A = ç + + 2 ÷ (1 1 1) ³ ç + + ÷ (1)
+
+
è y 2 z 2 x ø è y z x ø
x y z x y z
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : + + ³ 3. 3 . . = 3 (2)
y z x y z x
æ x y z ö æ x y z ö 2 x y z
Nhân từng vế (1) với (2) : 3A ç + + ÷ ³ 3 ç + + ÷ Þ A ³ + +
è y z x ø è y z x ø y z x
3
3
235. Đặt x = 3 3+ 3 3 ; y = 3 3- 3 3 thì x + y = 6 (1). Xét hiệu b – a , ta được :
3
3
3
3
3
3
3
b – a = 24 – (x + y) = 24 – (x + y ) – 3xy(x + y)
3
3
Do (1), ta thay 24 bởi 4(x + b ), ta có :
44 www.MATHVN.com