Page 45 - Microsoft Word - 270 bai tap boi duong hoc sinh gioi toan 9doc.doc
P. 45

WWW.MATHVN.COM                                                                          MAI TRỌNG MẬU




                   a b c d      =  1 a b   +  c d ö  ³  1 (  ab +  cd ³     ab. cd =   4
                     +
                                       +
                                               +
                        +
                            +
                                                                     )
                                    æ
                                                   ÷
                                    ç
                         4        2 è  2       2 ø     2                                abcd
                                           +
                                                                                +
                                                                             +
                                               +
                                                   +
                                        æ  a b c d ö   4                   a b c
                    Trong bất đẳng thức  ç            ÷  ³  abcd , đặt  d =          ta được :
                                        è      4      ø                       3
                                     +
                                  +
                   æ            a b c ö   4
                          +
                       +
                   ç a b c +        3    ÷        a b c         æ  a b c ö  4       a b c
                                                                       +
                                                    +
                                                                   +
                                                                                         +
                                                        +
                                                                                      +
                   ç                     ÷  ³  abc.         Þ   ç          ÷  ³  abc.        .
                   ç          4          ÷            3         è    3     ø            3
                   è                     ø
                                   a b c
                                         +
                                     +
          Chia hai vế cho số dương           (trường hợp một trong các số a, b, c bằng 0, bài toán được
                                       3
                                                  +
                               +
                           +
                                                      +
                        æ a b c ö   3           a b c
          chứng minh) :  ç        ÷  ³  abc Û            ³  3  abc .
                        è    3    ø                 3
                                                          a b c
                                                            +
                                                               +
                           Xảy ra đẳng thức :  a = b = c =            Û   a = b = c = 1
                                                              3
                                     b      c      d          a       1
          233.  Từ giả thiết suy ra :   +      +       £ 1-       =      . Áp dụng bất đẳng thức
                                   b 1    c 1 d 1           a 1     a 1
                                                   +
                                                              +
                                     +
                                            +
                                                                      +
                                    1       b      c      d                 bcd
          Cauchy cho 3 số dương :       ³      +       +      ³  3. 3                   .   Tương tự :
                                   a 1    b 1     c 1 d 1           (b 1)(c 1)(d 1)
                                            +
                                                                             +
                                                           +
                                    +
                                                                                    +
                                                                       +
                                                   +
                                           1  ³ 3.          acd
                                         b 1       3  (a 1)(c 1)(d 1)
                                                                    +
                                                             +
                                                       +
                                           +
                                           1  ³  3.         abd
                                         c 1      3  (a 1)(b 1)(d 1)
                                                       +
                                                                    +
                                           +
                                                             +
                                           1  ³ 3.          abc
                                         d 1       3  (a 1)(b 1)(c 1)
                                                                    +
                                                             +
                                           +
                                                       +
                                                                                 1
                                                          ³
                             Nhân từ bốn bất đẳng thức : 1 81abcd Þ     abcd £     .
                                                                                81
                        x 2   y 2  z 2
          234.  Gọi A =    +     +    .  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
                        y 2   z 2  x 2
                                    æ  x 2  y 2  z ö            æ  x  y   z ö 2
                                                 2
                              3A =  ç   +     +  2 ÷ (1 1 1) ³  ç  +    +   ÷      (1)
                                                          +
                                                      +
                                    è  y 2  z 2  x  ø           è  y  z   x  ø
                                                               x   y   z       x y z
          Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm :    +     +   ³  3. 3  . .  = 3    (2)
                                                               y   z   x       y z x
                                        æ  x  y   z ö    æ  x  y   z ö 2         x   y   z
          Nhân từng vế (1) với (2) :    3A ç  +  +  ÷  ³  3 ç  +  +  ÷  Þ   A ³    +   +
                                        è  y  z   x ø    è  y  z   x  ø          y   z   x
                                                     3
                                                          3
          235.  Đặt  x =  3  3+  3  3 ; y =  3  3-  3  3  thì  x  + y  = 6   (1).  Xét hiệu b  – a , ta được :
                                                                                   3
                                                                               3
                                 3
                                                                   3
                                     3
                                                              3
                                                    3
                                b  – a  = 24 – (x + y)  = 24 – (x  + y ) – 3xy(x + y)
                                   3
                                        3
          Do  (1), ta thay 24 bởi  4(x  + b ), ta có :
          44                                                                www.MATHVN.com
   40   41   42   43   44   45   46   47   48   49   50