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bloque 2
geometría

2.2. Multiplicación y división

AMPLÍA
AMPLÍA Para multiplicar dos números complejos z = a + bi y z = c + di, procederemos
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como si multiplicáramos dos binomios, teniendo en cuenta que i = -1. El resulta­
Utiliza el producto de números com­ do de la multiplicación es un número complejo:
plejos en forma binomial para
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comprobar que se cumplen las si­ z · z = (a + bi ) · (c + di ) = ac + adi + bci + bdi = (ac - bd) + (ad + bc)i
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guientes propiedades:
Para dividir dos números complejos, escribimos la operación en forma de frac­
— Asociativa: ción y multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del deno­
minador eliminando la parte imaginaria del denominador. El resultado de la
z 1 · (z 2 · z 3 ) = (z 1 · z 2 ) · z 3
— Conmutativa: división es otro número complejo:
z 1 · z 2 = z 2 · z 1
z (a + bi) (c − di) ac − adi + bci + bd
— Elemento neutro: 1 = · = =
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z · 1 = 1 · z = z z 2 (c + di) (c − di) c − / c / di + / d / ci + d 2
— Distributiva de la multiplicación ac + bd + (bc − ad)i ac + bd bc − ad i
respecto de la suma: = c + d 2 = c + d 2 + c + d 2
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2
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z 1 · (z 2 + z 3 ) = z 1 · z 2 + z 1 · z 3
4 EJEMPLO
Dados los números z 1 = 3 + 6i y z 2 = 2 + 3i, calcula:
z
a) z 1 · z 2 b) 1 c) z 2 3
z 2
Solución
COMPRENSIÓN:
Calcularemos los resultados desarrollando las expresiones correspondientes. En el caso de
FÍJATE la potencia, multiplicaremos el número complejo tantas veces como indique el numerador.
RESOLUCIÓN:
Potencias de i
Las potencias sucesivas del número a) z 1 · z 2 = (3 + 6i ) · (2 + 3i ) = 3 · 2 + 3 · 3i + 6i · 2 + 6 · 3i = 6 + 9i + 12i + 18i =
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imaginario i siguen el ciclo = 6 + 21i - 18 = -12 + 21i
1 → i → -1 → -i → 1: (3 + 6i) (2 − 3i) 6 − 9i + 12i + 18 24 + 3i
b) z 1 = · = = = 0,25 + 0,03i
i = 1 i = i i = -1 i = -i z 2 (2 + 3i) (2 − 3i) 4 + 9 2 97
3
0
1
2
2
7
4
i = 1 i = i i = -1 i = i
6
5
2
c) z = z 2 · z 2 = (2 + 3i ) · (2 + 3i ) = 4 + 6i + 6i - 9 = -5 + 16i
2
...
2
3
z = z 1 · z = (2 + 3i ) · (-5 + 18i ) = - 10 + 36i - 15i - 54 = - 64 + 21i
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1
— En grupo, hallad una fórmula
para determinar el valor de cual­ COMPROBACIÓN:
quier potencia de i.
Puedes comprobar el resultado utilizando la calculadora en línea que encontrarás en el
siguiente enlace: http://www.wolframalpha.com.
Inverso de un número complejo
Del mismo modo que los números reales, todo número complejo z ≠ 0 tiene un
número inverso z que cumple:
-1
-1
z · z = 1
-1
Para calcular el inverso de un número complejo, basta con escribir z en forma
de fracción y efectuar la división correspondiente:
1 1 a − bi a − bi
Ejercicios y problemas z −1 = = · =
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8 a 11 z a + bi a − bi a + b 2
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