Page 9 - complejos

unidad 6
números complejos

7 EJEMPLO

Dado el número complejo z = 7 + 5i, responde y resuelve las si- c) Calcula el módulo de z y su argumento.
guientes cuestiones:
d) Calcula el módulo y el argumento de su conjugado z.
a) Identifica la parte real y la parte imaginaria de z.
e) Representa, en una misma gráfica, los vectores que determinan
b) Busca el conjugado de z. los afijos de z, su opuesto y su conjugado.
Solución

COMPRENSIÓN: Aplicaremos las definiciones de número com­ En este caso, el argumento es arc tg (b /a) = arc tg (-5/7) =
plejo, su conjugado, módulo y argumento, y recordaremos 324,46°.
cómo se representa el afijo de un complejo expresado en forma
binómica. e) Recuerda que la parte real se representa en el eje X y la par­
te imaginaria, en el eje Y. Ten en cuenta también que |z | es
RESOLUCIÓN: a) La parte real del número complejo z = 7 + 5i el simétrico de z respecto del eje X, mientras que -z lo es
es 7 y la escribimos como a = Re(z ) = 7. La parte imaginaria es respecto del origen de coordenadas.
5i y la representamos como b = Im(z ) = 5i.
Y z = 7 + 5i
b) El conjugado de un número z (que se representa como z ) es 5 4
este mismo número, pero cambiando el signo de la parte 3
imaginaria. Así pues, el conjugado de z será z = 7 - 5i. 2
1
0
2
2
c) El módulo de z = a + bi es |z| = a + b ; por lo tanto, –8 – 7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 X
–2
2
|z| = 7 + 5 2 = 74 = 8,6. –3
El argumento es arctg (b/a) = arctg (5/7) = 35,54°. –z = –7 – 5i –4 z = 7 – 5i
–5
d) El módulo de un número complejo coincide con el de su
conjugado; por lo tanto, |z| = 8,6. Representación gráfica de z = 7 + 5i y z = 7 - 5i y -z = -7 - 5i.

FÍJATE
8 EJEMPLO
Al calcular una arcotangente, la ma­
Representa en los mismos ejes de coordenadas los vectores que se corresponden con:
yoría de las calculadoras y progra­
a) z = 3 + 2i. b) Su conjugado. c) Su opuesto. d) Su inverso. mas dan como resultado ángulos
comprendidos entre -p/2 y p/2.
Solución
Cuando el afijo de un número com­
COMPRENSIÓN: Deberemos calcular el módulo y el argumento de cada uno de los vecto­ plejo está en el primer cuadrante,
res, antes de representarlos. obtendrás un valor positivo del ángu­
lo y será el argumento que buscas;
2
RESOLUCIÓN: a) El módulo de z es |z| = 3 + 2 2 = 13 ≈ 3,61, mientras que su argu­ en caso contrario, debes tener en
mento es arc tg (2/3) = 33,69°. cuenta en qué cuadrante está el afijo.
b) El conjugado de z es z = 3 - 2i. Su afijo es el simétrico del afijo de z respecto del eje real Reflexiona sobre la posición de los
(eje X ). afijos y el resultado que obtienes en
la calculadora y verás que:
c) El opuesto de z es -z = -3 - 2i. Su afijo es el simétrico del afijo de z respecto del origen 0.
Afijo en el segundo cuadrante S
d) El inverso de z es:
1 z 3 − 2i a < 0 S arg (z ) = 180 - a
= = ≈ 0,23 − 0,15i
2
z |z| 2 3 + 2 2 Afijo en el tercer cuadrante S
Representamos los resultados obtenidos: a > 0 S arg (z ) = 180 + a
Afijo en el cuarto cuadrante S
Y
3 a < 0 S arg (z ) = 360 - a
z = 3 + 2i
2
1
Problemas resueltos
A
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 X
1
–1 z ≈ 0,23 – 0,15
–z = –3 – 2i z = 3 – 2i Ejercicios y problemas
–2
12 a 17

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