Page 12 - complejos

bloque 2
geometría

AMPLÍA
AMPLÍA Potenciación
Para calcular potencias de números Según lo que hemos visto, si calculamos el producto de un complejo z = r por sí
a
complejos, te puede interesar utili­ mismo, obtenemos el resultado z = z · z = r . A continuación, si multiplicamos el
2
2
zar la siguiente fórmula: 2α
3
3
2
resultado anterior por z,, obtenemos z = z · z = r 2 · r = (r · r) = r . No es
2
(cos α + i sen α) = 2α a 2a + a 3α
n
4
4
= cos(nα) + i sen(nα) difícil comprobar que, análogamente, z = r , y así sucesivamente.
4α
Se conoce como fórmula de De Por lo tanto, concluimos que al elevar un número en forma polar a la potencia
Moivre. enésima, su módulo queda elevado a n, y su argumento, multiplicado por n:
Así si z = r(cos α + i sen α) enton­ z = (r ) = (r )
n
n
n
n
ces z = r (cosnα) + i sen nα). α nα
n
11 EJEMPLO
5
Dado el número complejo z = 2 p/2 , calcula z .
Solución
5 5 5
RESOLUCIÓN: z = (2 p/2 ) = (2 ) 5p/2 = 32 5p/2 = 32 5p/2 - 2p = 32 p/2
Observa que el argumento del resultado era mayor que 2p (5p/2) y lo hemos expresado
como un número comprendido entre 0 y 2p.
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Radicación
La raíz enésima de un número com­
plejo en forma polar tiene n solucio­
nes distintas. Así, por ejemplo, la La raíz enésima del número complejo R es otro número complejo r cuya poten­
ß
a
raíz quinta de un número complejo cia enésima es R .
a
n
tendrá cinco soluciones (o cinco raí­ n R α = r 3 (r ) = R α
β
β
ces quintas). En el siguiente enlace
n
n
puedes ver la representación, en Sin embargo, (r ) = r . Por lo tanto:
β
nβ
forma polar, de las raíces quintas de ⎧
n
z = cos(p/3) + i sen(p/3): ⎪ r = R 1 n R
r n = R 1 ⎨
http://links.edebe.com/bgei nβ α α + 360k
⎪ nβ = α + 360º · k; k ∈ Z ⇒ β =
⎩ ⎪ n
Si damos valores enteros a k desde 0 hasta n - 1, obtenemos n argumentos distintos:
α α + 360º α + 360º · (n − 1)
Si k = 1 β = ; si k = 2 β = ; ...; si k = n - 1 β =
n
1
2
n n n
Así, un número complejo z = R tiene n raíces enésimas distintas:
a
n
n R α = ( R ) α+360k ; k = 0, 1, 2, ..., n − 1
n
FÍJATE 12 EJEMPLO
Calcula las raíces cuadradas de z = 2 p y las raíces cúbicas de z = 27 30° .
Si expresas los ángulos en radianes,
la expresión de los argumentos de Solución
las raíces es: COMPRENSIÓN: Para calcular raíces, hallaremos la raíz del módulo y calcularemos los
α + 2pk argumentos dando valores a k desde 0 hasta n - 1.
ʹ′ α = , k = 0, 1, …, n - 1
n RESOLUCIÓN: Las raíces cuadradas de z = 2 p tendrán módulo 2 y argumentos:
π + 0 π π + 2π·1 2π
α 1 = = ; α 2 = =
2 2 2 3
Por lo tanto, las raíces son ( ) π ( ) 3π .
y
2
2
2 2
3
Las raíces cúbicas de z = 27 30° tendrán módulo 27 = 3 y argumentos:
30º + 0º 30º + 360º ·1 30º + 360º ·2
α 1 = = 10º ; α 2 = = 130º ; α 3 = = 250º
3 3 3
Ejercicios y problemas Las raíces son, por lo tanto, 3 10° , 3 130° y 3 250° .
31, 32, 33, 35, 39
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