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bloque 2
geometría

CURIOSIDADES 5.2. Ecuaciones bicua dradas

Un número z en forma polar se ex­
presa en función de dos parámetros, Las ecuaciones bicuadradas son las ecuaciones cuyo término general es de la
el módulo r y el argumento a, que se forma:
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consideran también como coordena­ ax + bx + c = 0
das: las coordenadas polares.
Estas ecuaciones pueden reducirse a una ecuación de segundo grado, efectuan­
Así pues, por ejemplo, una circunfe­ do el siguiente cambio de variable:
rencia de radio 1 con centro en (0, 0)
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que en coordenadas cartesianas se x = t 2 x = t
expresaría como x 2 + y 2 = 1, en coor­
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denadas polares se escribiría r = 1. at + bt + c = 0
Por otra parte, una expresión como Si consideramos la posibilidad de la existencia de soluciones complejas, podemos
y = x representa una recta en coorde­ encontrar las soluciones t y t de esta ecuación de segundo grado y, deshaciendo
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nadas cartesianas, mientras que el cambio de variables, hallaremos las raíces del polinomio original.
r = a representa una espiral de
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Arquímedes en coordenadas polares. Observa que las raíces t y t de at + bt + c = 0 pueden ser de tres tipos:
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— Un número real positivo t (solución doble). Al calcular x, obtendremos dos
números reales x = ± t .
— Un número real negativo t (solución doble). Al calcular x, obtendremos dos
números imaginarios x = ±i t .
Espiral de Arquímedes.
— Un número complejo z. Al calcular x, deberemos aplicar el método de radica­
ción de complejos visto anteriormente y obtendremos dos complejos conjuga­
Ejercicios y problemas dos.
46, 47, 48

13 EJEMPLO

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Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada: x + 2x + 2 = 0.
Solución
COMPRENSIÓN: Efectuaremos los cambios de variable x = t S x = t , resolveremos la ecuación resultante y, finalmente, des­
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haremos el cambio.
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RESOLUCIÓN: Los cambios de variable nos permiten escribir la ecuación de la siguiente forma: t + 2t + 2 = 0.
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−b ± b − 4ac −2 ± 2 − 4 · 1 · 2 −2 ± 4 − 8 −2 ± −4 −2 ± 2i
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A continuación, la resolvemos:t = = = = = = −1 ± i.
2a 2 · 1 2 2 2
Las soluciones son dos complejos conjugados y, para deshacer el cambio, deberemos aplicar el método de radicación de complejos.
Para ello, expresaremos las soluciones en forma polar:
⎧ α = 135º
2
t 1 = -1 + i; r = (−1) + 1 2 = 2 ; tg α = −1 S ⎨ . Puesto que el afijo del número complejo pertenece al segundo cuadran­
⎩ α = 315º
te, su argumento es a = 135°.
⎧ α = 45º
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t 2 = -1 - i; r = (−1) + 1 2 = 2 ; ; tg α = −1 S ⎨ . Puesto que el afijo del número complejo pertenece al cuarto cuadrante,
⎩ α = 225º
su argumento es a = 225°.
Por lo tanto, t 1 = 2 135° y t 2 = 2 225°.
Ahora debemos deshacer el cambio de variable para calcular las x.
135° 135° + 360°
Las raíces de t 1 tienen módulo 2 = 4 2 y argumentos = 67,5° y = 247,5° S x 1 = 4 2 67,5° , x 2 = 4 2 247,5° .
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Las raíces de t 2 tienen módulo 2 = 4 2 y argumentos 225° = 112,5° y 225° + 360° = 292,5° S x 3 = 4 2 112,5° , x 4 = 4 2 292,5° .
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COMPROBACIÓN: Expresa las soluciones en forma binómica y sustitúyelas por x en la ecuación bicuadrada para comprobar que
verifican la igualdad.

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