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Proporciones
En matemáticas, una proporción es una expresión que indica que dos razones son iguales; por ejemplo, 3:4 = 6:x es una proporción y se lee “3 es a 4 como 6 es a x”. En términos de fracciones, tenemos una proporción cuando dos fracciones son equivalentes. En la propor- ción a:b = c:d, los términos a y d se llaman extremos, mientras que b y c se denominan medios. Toda proporción tiene una propiedad fundamental, que enunciamos en seguida.
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Propiedad de los productos cruzados
La propiedad de los productos cruzados, que es fundamental para todas las proporcio- nes, establece que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. De acuerdo con ella:
si ab = dc , entonces ad = bc
Resuelve la proporción 4 = 8 . 5x
Solución De acuerdo con la propiedad de los productos cruzados tenemos que: 4x = 5(8)
4x = 40
Al dividir ambos miembros de la expresión entre 4 para despejar x resulta:
4 x = 40 44 x =10
Compruébalo sustituyendo el valor de x en la proporción original. Las proporciones como modelos matemáticos
A continuación, analizaremos algunos ejemplos en los que el modelo matemático es una proporción, es decir, en los que un hecho o un fenómeno que expresamos primero con palabras es traducido a una proporción matemática.
El costo por alfombrar una habitación de 20 m2 fue de $1 700. ¿Cuánto cuesta alfombrar una habitación de 32 m2 con el mismo tipo de alfombra?
Solución Como se observa, este es un problema de proporciones porque describe dos razones que son equivalentes. Las razones indicadas en el problema implican: (1) un costo por alfombrar y (2) una superficie medida en metros cuadrados. El problema tam- bién indica la proporción:
Ejemplo 19
Ejemplo 18
alfombrar 20 m2 = alfombrar 32 m2
¿costo? = x Luego, según la propiedad de los productos cruzados, tenemos que:
$1700
20 = 32
Se aplica la propiedad
de los productos cruzados
1700 x
LOS NÚMEROS REALES PARA CONTAR, COMPARAR Y MEDIR