Page 11 - E-MODUL SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK

Definisi A-2 Misalkan H dan K masing-masing himpunan bagian dari grup (G, *),

maka

1. { }
2. { }

Teorema A-3: Misalkan dan masing-masing merupakan subgrup dari

Himpunan merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika

.

Bukti:

Diketahui dan masing-masing merupakan subgrup dari Kita misalkan
pernyataan dan sebagai berikut.

Asumsikan akan dibuktikan merupakan subgrup dari .

Kita akan menggunakan Teorema 3 dengan demikian harus dibuktikan (pertama),

dan G dan (kedua), untuk setiap berlaku .
Bagian pertama, ambil sebarang maka untuk suatu dan

. Diketahui H dan K subgrup dari G, artinya h1, k1 Є G. Diperoleh h1 * k1 − G

yang berakibat . Artinya . Jelas HK memuat .

Artinya

Bagian kedua, ambil sebarang , maka , untuk suatu

dan . Perhatikan bahwa

kesamaan elemen

Asosiatif

Asosiatif

Berdasarkan bagian pertama dan bagian kedua maka merupakan subgrup dari G.

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 7