Page 9 - E-MODUL SUBGRUP DAN GRUP SIKLIK

Teorema A-1 Suatu subset H yang tidak kosong dari grup merupakan subgrup dari

G jika dan hanya jika:
1. maka ( Aksioma pertama dari defenisi grup)

2. maka (Aksioma keempat dari defenisi grup)

Bukti teorema di atas dapat diperjelas sebagai berikut:

Akan ditunjukkan:
a. Jika H subgrup dari G maka dipenuhi 1 dan 2.

b. Jika dipenuhi i dan ii maka H subgrup dari G. berdasarkan hal di atas maka,

Bukti a:
Karena H merupakan subgrup dari G maka menurut defenisi subgrup H memenuhi

keempat aksioma grup. Dengan demikian maka H memenuhi sifat i dan ii.
Bukti b:

Untuk menunjukkan bahwa H subgrup dari G tinggal dibuktikan aksioma kedua dan
ketiga

Aksioma kedua:

G merupakan grup berarti setiap unsur di G memenuhi ifat asossiatif, sedangkan ,
maka setiap unsur di H juga unsur di G, sehingga setiap unsur di H juga unsur di G,

sehingga setiap unsur di H juga memenuhi ssifat asosiatif.

Aksioma ketiga:
Ambil sembarang , karena sifat i dipenuhi pada H maka atau

Terbukti
Dengan demikian keempat aksioma grup dipenuhi dan maka H merupakan

subgrup dari G.

Contoh 3:

,* + -

Dengan operasi perkalian matriks, G membentuk grup dengan elemen identitasnya * +

karena * +

Ambil sembarang
Akan ditunjukkan

E-Modul Subgrup dan Grup Siklik Page 5