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Aritmética 4° Secundaria

n
Observación (Ejercicio UNMSM) 19. Si 27 tiene “d” divisores, ¿cuántos divisores
n
Para el número 2160, determina: tendrá 729 ?
I. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de 2?
II. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de 3? Rpta.:
III. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de 12?
IV. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de 15?

Resolución:
2160 2 × → 2160 = 2 × 3 × 5
3
4
216 2 × 3
36 2 × 3
6 2 × 3
1

3
3
I. 2160 = 2(2 × 3 × 5)
o
 CD( 2 ) = 4 × 4 × 2 = 32
II. 2160 = 3(2 × 3 × 5)
2
4
o
 CD( 3 ) = 5 × 3 × 2 = 30
2
2
III. 2160 = 2 × 3(2 × 3 × 5)
3
o
 CD(12 ) = 3 × 3 × 2 = 18
IV. 2160 = 3 × (2 × 3 ) 20. Aplicación cotidiana
2
4
o Existen infinitos números primos, a esta
 CD(15 ) = 5 × 3 = 15
conclusión llegó Euclides alrededor del año
18. Para él número 3600, determina: 300 a. C. cuando realizó la primera
I. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de demostración en el libro IX de su obra
2? "Elementos". La demostración original sigue
II. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito
3? de los "n" primeros números primos: "p ", "p ",
1
2
III. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de "p ", ..., "p ", y se considera:
3
n
12?
IV. ¿Cuántos de sus divisores son múltiplos de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
15? 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
26
29
28
27
30
21 22
23
24
25
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Rpta.: 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
…

N = p  p  p  ...  p +
2
1
3
1
n
Este número es obviamente mayor que 1 y
distinto de todos los primos Pi de la lista. Por
lo tanto será primo.

a. Utilizando los tres primeros números
primos, ¿qué número "N" se obtiene?
b. El número: 211 = 2 × 3 × 5 × 7 + 1, ¿es
primo?

Observación (Ejercicio UNI)
n
Si 9 tiene «d» divisores, ¿cuántos divisores tendrá
n
243 ?

Resolución:
x = 9
n
x = (3 ) CD(x) = 2 + 1 = d
n
2 n

d 1
n 
2
5n
= 243 = (3 ) = 3
n
5 n
 d 1 
 CD  243 n   5n 1 5     1

 2 

5d 5 2


2

5d 3

2
er
1 Bimestre -50-