Page 13 - matrices & systemes 4inf+4eco

Exercice 1
1 0 0
 
1) a) det A  0  4 10  1  4 10  0 0 0  0 0 0   28 30  .

2
0  3 7  3 7  3 7  4 10
det A 0
   alors A est inversible.




1  0 0   1 0 0   1 0 0 0 0 0 0 0 0   1 0 0 


       



2

b) A   0  4 10  0  4 10   0 0 0 0 16 30 0 40 70  0  14 30


 
 


       


 


 0  3 7   0  3 7   0 0 0 0 12 21 0 30 49   0  9 19 

c)
 1 0 0   1 0 0   1 0 0



A  3A  2I    0  14 30  3   0  4 10  2 0 1 0  
2



3
     
 0  9 19   0  3 7   0 0 1 





 1 3 2 0 0 0 0 0 0   0 0 0







   0 0 0  14 12 2 30 30 0    0 0 0  0 3




   
 


9 9 0
 0 0 0    19 21 2   0 0 0 

1
2
d) A  3A  2I   A  3A   2I   A A  3I 3   I
2
0
3
3
3
2
 1 0 0   3 0 0     2 0 0 

 
Dou A  1   1 A  3I 3    1  0  4 10  0 3 0       1   0  7 10
 


2 2      2  
  0  3 7   0 0 3   0  3 4 
x   1  
   
y et b 
2) a)    A X  b avec X     

S
2 .
   
4
z
   


1
  2 0 0      2 0 0    2 1  
1     1   1    
b) X  A     0  7 10  2    0 14 40    26   13 .



1
b

  



2     2   2    


4
 0  3 4     0 6 16   10    5 
S 3    1; 13; 5   .
IR
Exercice 2
1 1 1
 
1) a) det A  1  1 1  1  1 1  1 1 1  4 1 1   3 1 8 6



4 2 1 2 1 2 1 -1 1
    alors A est inversible .
det A 6 0


 1 1 1   3 1 2    3 3 6 0 0  6 0 0


 
b) A B   1  1 1  3  3 0    0 6 0   0 6 0  6I
12               3
 
 4 2 1   6 2  2   0 0 6   0 0 6 

  3 1 2 
1 1  
Dou A  1  B  3  3 0 .
6 6    
 6 2  2 
2) a) On a

2





3
0
a
f   1  1   1   1 c  1 a b c   a b c   1
b





6
c
f     1 1   3  a   1 2  b    1    1 a b c    a b c   5
2



b
c
2
f     2 3  a   2     2   8 4a  2b c  12  4a  2b c  4