Page 18 - Производная_removed (1)_Neat
P. 18

Справедливы также и обратные утверждения.
          Признак возрастания функции. Если производная положительна на некотором промежут-
          ке, то функция возрастает на этом промежутке.

          Признак убывания функции. Если производная отрицательна на некотором промежутке,
          то функция убывает на этом промежутке.
             В самом деле, если скорость изменения количества ваших денег положительна, то денег
          у вас прибавляется. А вот если скорость наполнения кошелька отрицательна, то денег в нём
          становится меньше :-)
             Наблюдение за знаком производной лежит в основе исследования функций. Рассмотрим,
          например, функцию
                                                              3
                                                     f(x) = x − 3x.
             Выясним, на каких промежутках эта функция возрастает, а на каких   убывает. Для этого
          находим её производную:
                                             0
                                                      2
                                           f (x) = 3x − 3 = 3(x + 1)(x − 1).
             Методом интервалов определяем знаки производной и отмечаем стрелками возрастание или
          убывание функции на каждом промежутке (рис. 11).

                                       +                   −                   +
                                                −1                    1                  X



                                                                              3
                                     Рис. 11. Поведение функции f(x) = x − 3x

             Как видим, функция возрастает на промежутках (−∞, −1] и [1, +∞) и убывает на про-
          межутке [−1, 1]. Теперь поведение функции становится совершенно ясным. Мы можем най-
          ти значения функции в граничных точках промежутков возрастания и убывания: f(−1) = 2,
          f(1) = −2, и после этого построить график (рис. 12):

                                                          Y

                                                                                 3
                                                                            y = x − 3x



                                                             2


                                                                   1
                                                   −1                                  X



                                                         −2








                                                                            3
                                       Рис. 12. График функции f(x) = x − 3x

             Чем интересны граничные точки −1 и 1 промежутков возрастания и убывания нашей функ-
          ции? В этих точках производная равна нулю. Точки, в которых производная функции обраща-
          ется в нуль, называются стационарными точками данной функции. Название понятно   в


                                                            18
   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22