Page 3 - 수학(하)

이 책의 구성과 특징
이 책의 구성과 특징

01. 개념 다지기

새 교과과정에 맞추어 핵심개념을 유형별로 정리하고 알기 쉽게 해설하였습니다.

알맹이 콕 !
개 념 02 여러 가지 함수

. 1 일대일함수와 일대일 대응
) 1 일대일함수
. 1 일대일함수와 일대일 대응 일대일함수이다. 일대일함수이다. 일대일함수가 아니다.
) 1 일대일함수 f f f
X Y X Y X Y
1 ]g 일대일함수 f 1 a 1 a 1 a
X Y
함수 fX $ Y 에서 정의역 X 의 서로 다른 두 원소에 대한 1 a 2 b 2 b 2 b
:
3 c c c
공역 Y 의 원소가 서로 다를 때, 즉 정의역 X 의 임의의 b
2 4 d 3 d 3 d
]
두 원소 ,x 1 x 2 에 대하여 x 1 ] x 2 이면 f x 1 ! ]g f x 2g가 성립할 때, c
이 함수 f 를 일대일함수라 한다. 또한 x 1 [ ] x 2 이면 f x 1 ! ]g f x 2 \ g 의 3 d 정의역의 원소 ,12 34 의 함숫값 정의역의 원소 ,12 3 의 함숫값이 정의역의 두 원소 ,13 의 함숫값이
,
]
,
,
,
,
,
대우인 f x 1 = ]g f x 2g 이면 x 1 = x 2\ 가 성립할 때도 함수 f 는 일대일함수이다. 이 각각 ,bacd 로 서로 다르다. 각각 ,ca b 로 서로 다르다. 모두 b 이다.
[ ]
2 ]g 일대일함수의 그래프의 특징 2) 일대일대응
y f x
y = ]g
치역의 각 원소 k 에 대하여 x 축에 평행한 k 일대일대응이다. 일대일대응이 아니다. 일대일함수가 아니다.
y = k
y y y
직선 y = 와 오직 한 점에서 만난다. y = ]g
k
f x
f x
f x
O x y = ]g y = ]g
2) 일대일대응 y = k k k y = k k y = k
f
1 ]g 일대일대응 X Y
1 a
함수 fX $ Y 가 일대일함수이고, 치역과 공역이 같으면
:
2 b O x O x O x
일대일대응이라 한다. 3 c
k
k
k
2 ]g 일대일대응의 특징 4 d 직선 y = 와 교점이 1개이고 직선 y = 와 교점이 1개이지만 직선 y = 와 교점이 2 개이므로
치역과 공역이 같으므로 치역과 공역이 다르므로 일대일함수 일대일함수가 아니므로
함수 fX $ Y 에서
:
일대일대응이다. 이지만 일대일대응이 아니다. 일대일대응도 아니다.
02. 시험에 자주 출제되는 개념 반영
최근 3년간 EBS 연계교재, 교육청 및 평가원모의고사, 수능을 분석하여 시험에
자주 출제되는 개념을 적극 반영하였습니다.
등급 UP 01 유한집합의 원소의 개수 쉽게 구하기 등급 UP 05 y = ^ gf xg 의 그래프 쉽게 그리기
% h
]
,
전체집합 U 의 세 유한부분집합 ,AB C 에 대하여
U
g f xgh 의 그래프 쉽게 그리는 요령
] g
% h
B =
) 1 n A , g n A + ]g n B - ] n A + g 1 + 2 + 3 A B 합성함수 y = ^ gf x = ^ ]
]
]
g
B =
f x
오른쪽 그림과 같이 전체집합 U 를 각각 4 개의 영역으로 나누고 각각의 1단계 함수 y = ]g 의 그래프가 꺾이는 점을 기준으로 x 의 값의 구간을 나눈다.
1 2 3
영역에 해당하는 원소의 개수를 1 , 2 , 3 , 4 라 하면 함수 f 와 합성함수 gf% 의 정의역이 같기 때문이다.
4
f x
n U = 1 + 2 + 3 + 4 에서 n A , g 1 + 2 + 3 이다. 2단계 gf% 의 그래프는 함수 f 의 치역을 정의역으로 정한 후 y = ]g 가 증가 구간인 경우에는
B =
]
]g
g x
g x
예 두 집합 ,AB 에 대하여 n A = 10 , n B = 8 , n A + g B = 4 일 때, n A , Bg 를 구해 보자. y = ]g 의 그래프를, 감소구간인 경우에는 y = ]g 의 그래프를 y 축에 대칭시킨 후 그린다.
]
] g
]
] g
n A = 1 + 2 = 10 , n B = 2 + 3 = 8 , n A + g B = 2 = 4 이므로
]g
] g
]
g x
f x
1 = ^ 1 + 2 - 2 = 10 - 4 = , 6 3 = ^ 2 + 3 - 2 = 8 - 4 = , 4 예 집합 X = " x | 0 # x # 2, 에서 정의된 두 함수 y = ]g 와 y = ]g 의 그래프가
h
h
4
]
따라서 n A , g B = 1 + 2 + 3 = 6 ++ 4 = 14 이다. 각각 다음 그림과 같을 때, 합성함수 y = ^ gf xg 의 그래프를 그려 보자.
% h
]
예 지혜네 반 학생 중에서 A 연극을 관람한 학생은 20 명, B 연극을 관람한 학생은 24 명이다. y y
2 2
A 연극과 B 연극을 모두 관람한 학생이 12 명일 때, A 연극 또는 B 연극을 관람한 학생은
g x
f x
y = ]g y = ]g
모두 몇 명인지를 구해 보자.
A 연극과 B 연극을 관람한 학생들의 집합을 각각 ,AB 라 하면
n A = 1 + 2 = 20 명 , n B = 2 + 3 = 24 명 , n A + g B = 2 = 12명이므로
] g
]
] g
O 1 1 2 x O 1 2 x
h
h
1 = ^ 1 + 2 - 2 = 20 - 12 = 8 명 , 3 = ^ 2 + 3 - 2 = 24 - 12 = 12 명 이다. 2
f x
따라서 A 연극 또는 B 연극을 관람한 학생들의 수 1 + 2 + 3 는 8 + 12 + 12 = 32 명이다. 1단계 함수 y = ]g 의 그래프가 꺾이는 점을 기준으로 x 의 값의 구간을 나눈다.
f x
2) n A C + B C g = ]] B C = n U - ] B = 4 U 함수 y = ]g 가 x = 1 2 , x = 에서 꺾이므로 정의역의 x 의 구간을 y 2
1
n A , g
] g
n A , g g
]
%
A B 1 1 y = ^ gf x ] h g
2
오른쪽 그림과 같이 전체집합 U 를 각각 4 개의 영역으로 나누고 각각의 ] g 1 0 # x # 2 , 2 ] g 2 # x # , 1 ] g 3 1 # x # 로 나눈다.
1 2 3
]
% h
영역에 해당하는 원소의 개수를 1 , 2 , 3 , 4 라 하면 2단계 x 값의 구간별로 y = ^ gf xg 의 그래프를 그린다.
4 ]g 1 0 # x # 1 2 일 때 O 1 1 x
n U = 1 + 2 + 3 + 4 에서 n A , g g 4 이다. 4 2
B C =
]g
]]