Page 4 - 수학(하)

03. 선행 및 꼼수개념 적용

다년간 현장 강의 경험을 통한 꼼수개념 및 나중에 배울 선행개념을 문제풀이에 적용하여
문제를 보다 쉽고 빠르게 풀 수 있게 하였습니다.

예제 05 조합을 이용한 분할과 분배
개 념 01
조합
다음을 구하시오.
1 ]g 학생 8 명을 2 명, 2 명, 4 명의 세 조로 나누는 경우의 수
n
. 1 조합 C r 2 ]g 10 명의 학생이 3 명, 3 명, 4 명씩 짝을 이루어 서로 다른 3 곳의 영화를 관람하는 경우의 수
,
예를 들어 네 개의 자연수 ,12 34 중에서 순서를 생각하지 않고 두 개를 택하는 경우는
,
1 ]g 학생 8 명을 2 명, 2 명, 4 명의 세 조로 나누는 경우의 수는
,
,
6
,
,
,
^
^
^
^
^
^ , 12h , 13h , 14h , 23h , 24h , 34h 의 C 2 = 가지이다. 개념 다지기
4
C 2 # 6 C 2 # 4 C4 # 1 ! 2 = 28 # 15 ## 1 2 = 210 이다. 서로 다른 n 개에서 p 개, q 개, r 개의
1
8
이와 같이 서로 다른 n 개에서 순서를 생각하지 않고 r r # ng 개를 택하는 것을
]
다른풀이 !n 이용 세 묶음으로 나누는 경우의 수

n 개에서 r 개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 기호로 C r 와 같이 나타낸다. ! 8 1 ,
n
!2 # ! 2 # ! 4 # ! 2 = 210 이다. 1 ]g , pq r 가 모두 다를 경우
일반적으로 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하는 조합의 수는 C r 이고, C p # n- p C q # n- - p q C r
n
n
꼼수풀이
,
그 각각의 조합에 대하여 r 개를 배열하는 순열의 수는 !r 이다. 2 ]g , pq r 중 두 수가 같을 경우
C4 # 3 C 1 = 70 # 3 = 210 이다. a 14444444 C4= 24444444 V 3 V dd l C p # n- p C q # n- - p q C r # 1
dddd b k 3
Y d b l [
8
n
그러므로 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 C r 이다. 8 70 미리택 C1= 3 자동 ! 2
n
,
2 ]g 학생 10 명을 3 명, 3 명, 4 명의 세 조로 나누는 경우의 수는 3 ]g , pq r 가 모두 같을 경우
이 값은 P r 과 같으므로 C r # ! r = n P r 이다. 1 1 n C p # n- p C q # n- - p q C r # 1
n
1
n
r
10
n n - 1 ]g n - g 2 # g # ] n -+ 1g ! n C 3 # 7 C 3 # 4 C4 # ! 2 = 120 # 35 ## 2 = 210 0 이고 ! 3
]
따라서 C r = ! r = ! r = ! r n - rg 이다. 세 조가 서로 다른 3 곳의 영화를 관람하는 경우의 수는 !3 = 이므로
n
P r
n
!
6
]
0
여기서 r = 일 때, C 0 = ! n = ! n = 1이 성립하도록 !0 = 로 정의한다.
1
n
0 ] ! n - 0g ! 1 # ! n 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 2100 # 6 = 12600 이다.
꼼수 해석 다른풀이 !n 이용

!
10
확률과 통계의 기본 원칙은 같으면 나누고 , 다르면 곱한다. 학생 10 명을 3 명, 3 명, 4 명의 세 조로 나누는 경우의 수는 !!!334 # 1 ! 2 = 2100 이고
따라서 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하는 조합의 수인 C r 은 서로 다른 n 개에서 6
n 세 조가 서로 다른 3 곳의 영화를 관람하는 경우의 수는 !3 = 이므로
n 개를 택하는 조합의 수에서 택하는 r 개와 택하지 않은 n - rg 개를 같은 것으로 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 2100 # 6 = 12600 이다.
]
간주하여 나눈다고 생각한다. 꼼수풀이
n 학생 10 명을 3 명, 3 명, 4 명의 세 조로 나누는 경우의 수는 C4 # C 2 = 210 # 10 = 2100 이고
즉 , ,TT gTT , 333 g , 33 이므로 C r = ! r n - ! n ! ^ 단 , 0 # r # nh 이다. 10 5
,
,
,
,
,
,
,
n
6
a 1
C2= 344
Y dd b l 144444
자동 2
V
r 개 택 ] n - rg 개 택하지 ] rg 세 조가 서로 다른 3 곳의 영화를 관람하는 경우의 수는 !3 = 이므로 dddd b k 34444444 C4= 24444444 미리택 44 5 1244 10 ddd l 344444
210
구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 2100 # 6 = 12600 이다. 10
04. 기출문제 분석 및 단계별 해설
최근 3년간 기출문제 및 출제 빈도수가 높은 문제를 분석하여 점수대별 순으로 정리하였으며,
실전감각 향상과 순차적으로 학습이 가능하도록 난이도에 따라 단계별로 해설을 하였습니다.
020 전체집합 U 의 두 부분집합 ,AB 에 060 두 양수 ,xy 에 대하여 x + y 2 = 일 때, 183 [2016년 4월 10번 , 3점] 208 [2010년 수능 20번, 3점]
5
대하여 A + B = z 이고, 1 1 할머니 , 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 5 명의 서로 다른 6개의 공을 두 바구니 ,AB 에 3개씩 담
n A C , B C g = 20 , n A C + B C g = 12 일 때 , x + y 2 의 최솟값은? 가족이 있다. 이 가족이 을 때, 그 결과로 나올 수 있는 경우의 수를 구하시오.
]
]
n A , Bg 의 값은? ① 2 5 ② 4 5 ③ 6 5 ④ 8 5 ⑤ 2
]
오른쪽 그림과 같이 208
① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9 번호가 적힌 5 개의 1단계 서로 다른 6 개의 공을 3 개, 3 개씩 나누는
020 060 의자에 모두 앉을 때, 아버지, 어머니가 경우의 수를 구한다.
1단계 산술평균과 기하평균의 관계에서 a > 0 , b > 0 일 때,
1단계 A C , B C = ] A + g B C = U - ] A + g 이다. a + b 모두 홀수 번호가 적힌 의자에 앉는 경우의 수는? 서로 다른 6 개의 공을 3 개, 3 개의 두 조로 나누는
B C
b
n A C , B C = ]] B C = ] g n A + Bg 2 $ ab 이다. (단, 등호는 a = 일 때 성립) ① 28 ② 30 ③ 32 ④ 34 ⑤ 36 경우의 수는 C 3 # 3 C 3 # 1 ! 2 = 20 ## 1 2 = 10 이다.
g
]
n A + g g
n U - ]
1
6
5
n U =
= ]g 20 이다. x + y 2 = 이므로 다른풀이 !n 이용

B C
2단계 A C + B C = ] A , g B C = U - ] A , g 이다. x + y 2 = 5 2 $ x # , y 2 5 2 $ 2 xy , 25 4 $ 2 xy 에서 183
2 서로 다른 6 개의 공을 3 개, 3 개의 두 조로 나누는
n A C + B C = ]] B C = ] g n A , Bg 1 4 1단계 먼저 홀수 번호 ,13 5 가 적힌 3 개의 의자 중에서 경우의 수는 6 ! 1
,
g
n A , g g
]
n U - ]
= ] g n A , g B = 12 이다. 2 xy $ 25 이다. 2 개의 의자를 선택하여 아버지, 어머니를 앉힌다. 33 !! # ! 2 = 10 이다.
n U - ]
1 1 x + y 2 1 4 4 이다.
8
]
B = ] g
따라서 n A , g n U - 12 = 20 - 12 = 이다. x + y 2 = 2 xy = 5 # 2 xy $ 5 # 25 = 5 홀수 번호가 적힌 3 개의 의자 중에서 2 개의 의자를 꼼수풀이 b V Y dd b dd d l 34444
미리택 44
자동 2
C2= 344
5 1244
10 l 14444
꼼수풀이 등급UP 01 참조 1 1 5 5 5 C 2 = 10 이다.

(단 , 등호는 x = , y 2 즉 x = , y = 4 일 때 성립) 선택하여 아버지, 어머니가 앉는 경우의 수는
오른쪽 그림과 같이 4 2 2단계 2 개의 조로 나눈 6 의 공을 두 바구니 ,AB 에
U 따라서 구하는 최솟값은 5 이다. P 2 = 3 # 6
전체집합 U 를 4 개 영역으로 A B 3 2 = 이다. 담는 경우의 수를 구한다.

꼼수풀이 등호의 성질 이용

나누고 각 영역에 해당하는 1 2 3 2단계 나머지 3 개의 의자에 할머니, 아들, 딸을 앉힌다. 2 개의 조로 나눈 6 개의 공을 두 바구니 ,AB 에 담는
원소의 개수를 4 x = y 2 일 때 , 1 x + 1 는 최솟값을 가지므로 나머지 3 개의 의자에 할머니, 아들, 딸이 앉는 경우의 수는 !2 = 이다.
2
y 2
6
1 , 2 , 3 , 4 라 하면 주어진 식 x + y 2 = 에 x = y 2 를 대입하면 경우의 수는 P 3 = ! 3 = 이다. 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여
5
3
n A C , B C = ]] B C = 1 + 3 + 4 = 20 , x = 5 , y = 5 4 이다. 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 10 # 2 = 20 이다.
g
]
n A + g g
n A C + B C = ]] B C = 4 = 12 이다. 2 1 1 1 1 4 6 # 6 = 36 이다.
g
n A , g g
]
주어진 조건 A + B = z 에서 n A + g B = 2 = 이므로 따라서 x + y 2 의 최솟값은 5 + 2 # 5 = 5 이다.
0
]
2 4
]
B =
h
n A , g 1 + 3 = ^ 1 + 3 + 4 - 4 = 20 - 12 = 8
8
따라서 n A , g B = 이다.
]