Page 3 - 수학(상)

이 책의 구성과 특징
이 책의 구성과 특징

01. 개념 다지기

새 교과과정에 맞추어 핵심개념을 유형별로 정리하고 알기 쉽게 해설하였습니다.

개 념 01 원의 방정식 알맹이 콕 !

. 1 원의 방정식
. 1 원의 방정식 y
) 1 원의 방정식
) 1 원의 정의 y 1 ]g 표준형 P^ , xyh 핵심 찌르기
평면에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취를 원이라 한다. r P^ , xyh 원의 중심이 점 C abh 이고 반지름의 길이가 r 인 y r 현 할선
,
^
b C^ , abh
r
,
이때 이 정점을 원의 중심 , 일정한 거리를 원의 반지름의 길이라 한다. C^ , abh 원 위의 임의의 점을 P xyh 라 하면 CP = 이므로 b 원의 중심
^
r
2
피타고라스 정리에 의하여 ] x - g a 2 + ^ y - h b = 에서
) 2 원의 방정식 O a x 2
]
양변을 제곱하면 x - g a 2 + ^ y - h b = r 2 이다.
1 ]g 표준형 접점 접선
,
특히 원의 중심이 원점 00h 이고 반지름의 길이가 r 인 a
^
원의 중심이 점 C abh 이고 반지름의 길이가 r 인 원의 방정식은 x 2 + y 2 = r 2 이다. O x x
,
^
2
]
원의 방정식은 x - g a 2 + ^ y - h b = r 2 이다. 2 ]g 일반형
특히 원의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r 인 원의 방정식의 표준형 x - g a 2 + ^ y - h b = r 2 을 전개하여 정리하면
2
]
원의 방정식은 x 2 + y 2 = r 2 이다. x 2 + y 2 - 2 ax - 2 by + a 2 + b 2 - r 2 = 0 이다.
이때 2 = , A - b 2 = , B a 2 + b 2 - r 2 = C 라 하면
a
-
2 ]g 일반형
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 과 같은 원의 방정식의 일반형을 구할 수 있다.
, xy 에 대한 이차방정식 x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 ] A 2 + B 2 - 4 C > 0g 은 2 2 2 2
0
이를 완전제곱식으로 고치면 x 2 + Ax + b A l + y 2 + By + b B l - b A l - b B l + C = 에서
2
2
2
2
원의 중심이 C - A 2 , - B 2 l 이고 반지름의 길이가 r = A 2 + B 2 - 4 C 인 원의 방정식이다. b x + A l 2 2 + b y + B l 2 = A 2 + B 2 - 4 C 이다.
b
2
2
4
) 3 두 점을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식 이때 A 2 + B 2 - 4 C > 이면 원의 중심이 C - A , - B l 이고 반지름의 길이가 r = A 2 + B 2 - 4 C 인 원이다.
0
b
2 2 2
^
^
두 점 A x 1 , y 1h , B x 2 , y 2h를 지름의 ) 2 두 점을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식
양 끝 점으로 하는 원의 방정식은 두 점 A x 1 , y 1h , B x 2 , y 2h 를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식은
^
^
02. 시험에 자주 출제되는 개념 반영
최근 3년간 EBS 연계교재, 교육청 및 평가원모의고사, 수능을 분석하여 시험에
자주 출제되는 개념을 적극 반영하였습니다.
개 념 04
등급 UP 06 시험에 자주 출제되는 도형의 성질 시험에 자주 출제되는 원과 직선의 활용
. 1 극선의 방정식
. 1 교각의 성질(모래시계) C D
b a 원 밖의 점 P x 1 , y 1h 에서 원에 그은 두 접선의 접점을 ,AB 라 할 때 ,
^
) 1 + OAB 와 + DOF 는 동위각이다. c A
) 2 + OAB 와 + ODC 는 엇각이다. E a b O a b F 직선 AB 를 극선 l 이라 한다. P^ , x 1 y 1h
^
) 3 + AOB 와 + DOC 는 맞꼭지각이다. c ) 1 점 P x 1 , y 1h 에서 원 x 2 + y 2 = r 2 에 그은 극선의 방정식은
xx + yy = r 2 이다.
b
) 4 a ++ c = 180c이므로 삼각형의 내각의 합은 180c 이다. 1 1 B
2
^
]
) 5 3 OAB 와 3 ODC 는 닮음이므로 A a b B ) 2 점 P x 1 , y 1h 에서 원 x - g a 2 + ^ y - h b = r 2 에 그은 극선의 방정식은 l
모래시계 x 1 - g a x - g a + ^ y 1 - h b y - h b = r 2 이다.
]
^
]
AB CD = AO : OD = BO : OC 이다.
:
0
^
c
) 3 점 P x 1 , y 1h 에서 원 x 2 + y 2 + ax + by + = 에 그은 극선의 방정식은
2. 지렛대(시소)의 원리를 이용하여 중심을 쉽게 찾는 방법 x + y + y 1
c
F 1 F 2 xx + yy + a # x 1 + b # += 0 이다.
l 1 l 2 1 1 2 2
) 1 오른쪽 그림과 같이 물체를 움직이기 위해 힘을 전달하는데 C
A B 2. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 길이
사용하는 막대로서 지레라 불리기도 한다. 받침대 지렛대
^
) 2 지렛대의 원리에 의하여 F 1 # = F 2 # 이면 F 1 + F 2 ) 1 점 P x 1 , y 1h 에서 원 x 2 + y 2 = r 2 에 그은 P^ , x 1 y 1h
l 1
l 2
접선의 길이 l 은 l = x 1 + y 1 - r 2 이다.
2
2
정적평형 상태가 된다. C^ , abh
2
]
^
) 2 점 P x 1 , y 1h 에서 원 x - g a 2 + ^ y - h b = r 2 에 그은 l
) 3 지렛대를 선분 AB 로 가정하면 선분 AB 를 :ll 2 로 내분하는 점 C 가 받침대가 된다. r
1
2
접선의 길이 l 은 l = ] x 1 - g a 2 + ^ y 1 - h b - r 2 이다. T
. 3 삼각형의 무게중심 G 의 성질
]g
c
0
^
) 3 점 P x 1 , y 1h 에서 원 x 2 + y 2 + ax + by + = 에 그은
) 1 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 중선이라 하고 ,
c
접선의 길이 l 은 l = x 1 + y 1 + ax 1 + by 1 + 이다.
2
2
삼각형의 세 중선이 만나는 점을 무게중심이라 한다.
3. 원 위의 점으로부터 거리의 최대 $ 최소
) 2 삼각형 ABC 의 무게중심을 G 라 하면 AG GQ = BG : GR = CG : GP = : 21이다.
: