Page 4 - 수학(상)

03. 선행 및 꼼수개념 적용

다년간 현장 강의 경험을 통한 꼼수개념 및 나중에 배울 선행개념을 문제풀이에 적용하여

문제를 보다 쉽고 빠르게 풀 수 있게 하였습니다.

n
]
]g
등급 UP 01 수학(상)을 위한 미분법 예제 07 다항식 P x 가 x - ag 과 같이 완전제곱형인 경우
다항식 f x = x 4 - x 3 + 를 x - g 로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.
5
1 2
]g
]
f x
l
. 1 미분함수 y = l]g 의 기하학적 의미
1단계 f x = x 4 - x 3 + 를 x - g 로 나눈 몫을 Q x ]g 나머지를 R x = ax + 라 하면
,
b
5
1 2
]g
]
]g
f x
f x
l
미분함수 y = l]g 는 함수 y = ]g 의 그래프 위의 y f x = x 4 - x 3 + 5 = ] x - g 1 2 ] g ax + b gg ①이 성립한다. 개념 다지기
Q x +
] g
f x
,
^
임의의 점 A xf x ]gh 에서의 접선의 기울기이다. y = ]g ①의 식에 x = 를 대입하면 f 1 = 1 - + 5 = a + 에서 f a = R ag 의 성질을 이용하여
1
3
b
]g
] g
]
b
. 2 미분함수의 기본공식 A a += 3 , b = 3 - a gg ② 미지수를 줄여 나면서
f x ]g 점 A 에서의 접선
l
1
) 1 y = x n은양의정수g이면 y = n # x n- 이다. ①의 식에 ②를 대입하면 미지수를 구한다.
n ]
3
Q x +
f x = x 4 - x 3 + 5 = ] x - g 1 2 ] g ax + - a = ] x - g 1 2 ] g a x - g 1 + 3
] g
Q x + ]
c c는상수g이면 y = 이다.
) 2 y = ] l 0 O x x
2단계 x 4 - x 3 + 5 = ] x - g 1 2 ] g a x - g 1 + 에서 3 을 좌변으로 이항하면
3
Q x + ]
l
) 3 y = ] f x # ]g g xg 이면 y = l] g x + ]g f x # l]g g xg 이다. x 4 - x 3 + 2 = ] x - 1 ]g x 3 + x 2 +- 2 = ]g x - g 1 2 ] g a x - 1 = ]g x - g" x - 1g Q x + a, 에서
f x # ]g
x
Q x + ]
] g
1 ]
x
] g
. 3 미분함수의 적용 예 x 3 + x 2 + - 2 = ] x - 1g Q x + a gg ③
1
1
1
1
) 1 y = x 2 - x 3 + x 5 + 2 = x 2 - x 3 + x 5 + x 2 이면 ③의 식에 x = 를 대입하면 a = 1 + +- 2 = 이다.
3
2
0
2
3
1
l
y = 2 # x 3 ] 2 g - 3 # x 2 ] 1 g + 5 # ] 1 # x 0 g + ] 2 0 # x - g 1 = x 6 - x 6 + 이다. ②의 식에 a = 를 대입하면 b = 3 - 1 = 2
5
2
2
따라서 a = 1 , b = 이므로 R x = x + 2 이다.
]g
Q x ] g 이다.
] g
l
) 2 y = ] x - g 1 3 # Q x ] g 이면 y = ] 3 x - g 1 2 # Q x + ] x - g 1 3 # l

꼼수풀이 미분 이용 (등급 UP 01 참조)
b
1 2
,
5
. 4 수학(상)에서 적용 예 1단계 f x = x 4 - x 3 + 를 x - g 로 나눈 몫을 Q x ]g 나머지를 R x = ax + 라 하면
]g
]g
]
) 1 나누는 다항식 P x 가 x - ag 과 같이 완전제곱형인 경우의 나머지정리 f x = x 4 - x 3 + 5 = ] x - g 1 2 ] g ax + b gg ①이 성립한다.
n
] g
Q x +
]g
]
b
3
b
1
2 2
]g
예 다항식 f x = x 5 - x 3 - 12 x + 24 를 P x = ] x - g 으로 나누었을 때의 나머지를 구해 보자. ①의 식에 x = 를 대입하면 f 1 = 1 - + 5 = a + 에서 a += 3 , b = 3 - a gg ②
2
]g
] g
3
Q x +
2단계 ①의 식의 양변을 x 에 대하여 미분하면 x4 - 3 = ] 2 x - 1g Q x + ] x - g 1 2 l] g a gg ③
] g
]g
1단계 f x ]g 를 P x = ] x - g 로 나눈 몫을 Q x ]g 나머지를 R x = ax + 라 하면
,
2 2
] g
b
1
③의 식에 x = 를 대입하면 a = 4 - 3 = 이다.
1
2
Q x +
b
항등식 f x = x 5 - x 3 - 12 x + 24 = ] x - g 2 2 ] g ax + 가 성립한다.
] g
②의 식에 a = 를 대입하면 b = 3 - 1 = 이다.
2
1
2단계 항등식에 x = 를 대입한다.
2
]g
2
따라서 a = 1 , b = 이므로 R x = x + 2 이다.
04. 기출문제 분석 및 단계별 해설
최근 3년간 기출문제 및 출제 빈도수가 높은 문제를 분석하여 점수대별 순으로 정리하였으며,
실전감각 향상과 순차적으로 학습이 가능하도록 난이도에 따라 단계별로 해설을 하였습니다.
050 다항식 x 3 - 27 이 x - 3 ]g x 2 + ax + bg 로 278 좌표평면 위의 두 점 A 11h , B 3 ^ , ah에
]
,
^
인수분해될 때, 두 상수 ,ab 에 대하여 대하여 선분 AB 의 수직이등분선이 255 좌표평면에서 3 < a < 인 실수 a 에 D
7
b
4 = ] a + g 1 2 ++ 20 = , 0
2
b
4
a + 의 값은? [2018년 9월 , 2점] 원 x + g 2 2 + ^ y - h 5 = 의 넓이를 이등분할 때, 대하여 이차함수 y = x 2 - 2 ax - 20 의 그래프 위의 b =-] a + g 1 2 - 20 =- a 2 - 2 a - 21 이므로
]
① 8 ② 9 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12 상수 a 의 값은? [2017년 9월 , 3점] 점 P 와 직선 y = x 2 - 12 a 사이의 거리의 최솟값을 접선의 방정식은 y = x 2 - a 2 - 2 a - 21 이다.
f a ]g 는 두 직선 y = x 2 - 12 a 와 y = x 2 - a 2 - 2 a - 21
1단계 x 3 - y 3 = ^ x - h y x 2 + xy + h 이다. ① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9 f a ]g 라 하자. f a ]g 의 최댓값은? [2017년 11월 , 4점] 사이의 거리이므로 x2 -- 12 a = , 0
y 2
^
y
x 3 - 27 = x 3 - 3 3 = ] x - 3 ]g x 2 + x 3 + 9g 1단계 선분 AB 의 수직이등분선을 l 이라 하면 ① 45 ② 5 ③ 65 ④ 75 ⑤ 85 x 2 -- a 2 - 2 a - 21 = 0 에서
y
따라서 a = 3 , b = 이므로 a += 3 + 9 = 12 이다. 직선 l 은 선분 AB 의 중점 M 을 지난다. 5 5 5 5 - a 2 - 2 a - 21 + 12 a -] a - g 5 2 + 4 이다.
b
9
] g
1 + 3 1 + a l 1 + a l 이다. 1단계 점 x 1 ^ , y 1h 과 직선 ax + by + = 0 사이의 f a = 2 2 + 1 2 = 5
c
Mb 2 , 2 = Mb , 2 2
2단계 직선 l 이 원의 넓이를 이등분하면 거리 d 는 d = ax 1 + by 1 + c 이다. 따라서 f a ]g 의 최댓값은 f 5 = 45 이다.
]g
a 2 + b 2 5
직선 l 은 원의 중심을 지난다.

기울기가 2 인 직선이 이차함수 y = x 2 - 2 ax - 20 에 꼼수풀이 미분 이용 (등급 UP 01 참조)

직선 l 이 주어진 원의 넓이를 이등분하므로
접할 때의 접점이 점 P 일 때 , 점 P 와 직선 y = x 2 - 2 ax - 20 를 x 에 대하여 미분하면
원의 중심 - ^ , 25h 를 지난다. y = x 2 - 12 a y = x 2 - 2 a = 에서 x = a + 이므로 접점 P 의 좌표는
1
2
l
그러므로 직선 l 은 두 점 2 b , 1 + 2 a l , - ^ , 25h 를 지나므로 사이의 거리가 최소가 된다. P a + , 1 - a 2 - 19h 이다.
^
1 + a - 5 y
y
직선 l 의 기울기는 2 = a - 9 이다. y = x 2 - 2 ax - 20 y = x 2 - 12 a 점 P a + , 1 - a 2 - 19h 와 직선 x2 -- 12 a = 0 사이의
^
2 + 2 8
거리 f a ]g 는
3단계 두 직선이 수직이면 두 직선의 기울기의 곱은 1 이다.
-
직선 AB 의 기울기는 a - 1 1 = a - 1 이고 직선 AB 와 P f a = 2] a + g 1 + a 2 + 19 - 12 a = ] a - g 5 2 - 4
] g
3 - 2 2 2 + 1 2 5
직선 l 이 수직이므로 a - 2 1 # a - 8 9 =- 1 에서 a = 이다. 따라서 f a ]g 의 최댓값은 f 5 = 45 이다.
5
]g
5
O x
y = x 2 - 2 ax - 20 에 접하고 기울기가 2 인 직선을
b
y = x 2 + 라 하면 x 2 - 2 ax - 20 = x 2 + 에서
b
b
x 2 - ] 2 a + 1g x -- 20 = 0 의 판별식을 D 라 하면