Page 40 - cahiers de sciences physiques 4ème Maths - 3ème Trimestre

IV. Evolution temporelle d’une substance radioactive.

2. Décroissance exponentielle.
Soient :
N 0 , le nombre de noyaux radioactifs à l’instant t = 0
N(t), le nombre de noyaux radioactifs restants à l’instant t
N(t) + dN le nombre de noyau restants à la date t + dt . (avec dN < 0 puisque N diminue).

Calculez le nombre de noyaux qui s'est désintégrés entre t et t + dt :
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Nous savons que ce nombre est proportionnel à deux grandeurs:
(- dN) est proportionnel à N(t) c'est à dire au nombre de noyaux présents à l'instant t dans l'échantillon.
(- dN) est proportionnel à dt c'est à dire la durée pendant laquelle on compte les désintégrations.
Ainsi, on peut écrire la relation de proportionnalité entre : (- dN), N(t) et dt.
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La constante de proportionnalité …………. est appelée généralement ……………………………………………………………………….
Elle est exprimée en :
Elle dépend de la nature de l'échantillon étudié.

En exploitant la relation de proportionnalité entre (- dN), N(t) et dt montrer que l’expression de N(t) en
fonction de N 0 , λ λλ λ et t est N(t) = N 0.e -λ λλ λ.t

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Remarque-1 : Expression de la masse m(t) de l'échantillon radioactive à l'instant t : m(t) = m 0.e -λ λλ λ.t

Remarque-2 : Exploitation des courbes.

La fonction f(t) La courbe de f(t) Expression de f(t)

Log(N)
f(t) = Log(N) est une application affine
Log(N) = at+b= -λ λλ λ.t +Log(N 0 )
b=Log(N 0)
f(t) = Log(N) avec la pente
a = -λ λλ λ
b
t (s) b = Log(N 0 ) d’où N 0 =e

N= N 0.e -λ λλ λ.t ⇒ N 0 00 0 = e λ λλ λ.t ⇒ N 0 00 0 )= λ λλ λ.t
⇒
⇒⇒
⇒⇒
⇒ Log(
f(t) = Log( N 0 00 0 ) Log( N 0 00 0 ) N N
N
N f(t) = Log(N) est une application linéaire :
Log( N 0 00 0 )= a.t=λ λλ λ.t
N
t (s) avec la pente a = λ λλ λ

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