Page 322 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Solusi Olimpiade Matematika 2013

baris ke-n dari a sampai dengan a tidak ada masalah. Masalahnya
1 n  n n  1
n 1 n 1
terletak pada bilangan a karena nilainya ditentukan oleh  a dan  a .
nn in ni
i 1 i 1
Dengan kata lain, untuk menjamin bahwa untuk setiap cara pengisian dari
tabel (n − 1)  (n − 1) yang pertama, kita selalu bisa mengisi bilangan-
bilangan pada kolom ke-n dan baris ke-n sehingga kondisi pada soal
n 1 n 1
in 
terpenuhi, harus dibuktikan bahwa  a = a ni
i 1 i 1

Untuk itu, misalkan A adalah hasil perkalian semua bilangan yang diisikan
pada tabel
(n − 1)  (n − 1) yang pertama. Diperoleh

n 1
A   a = (–1) n – 1
in
i 1

demikian pula
n 1
A   a = (–1) n – 1
ni
i 1
Dari kedua kesamaan di atas diperoleh

n 1 n 1
 a = a ni
in 
i 1 i 1
seperti yang diharapkan.

n  1 2
Jadi, banyaknya cara pengisian tabel n  n tersebut adalah 2 .

Siap OSN Matematika SMP 2015 313