Page 317 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Solusi Olimpiade Matematika 2013

B. SOAL HARI KEDUA (SELEKSI TINGKAT NASIONAL)
(oleh Tutur Widodo)

2
1. Apakah ada bilangan asli n sehingga n + 5n + 1 habis dibagi oleh 49?
Jelaskan!

Jawab:

Kita buktikan dengan kontradiksi. Andaikan terdapat bilangan asli n sehingga
49n + 5n + 1. Karena 49n + 5n + 1 maka berakibat 7n + 5n + 1 = (n −
2
2
2
1)(n + 6) + 7 sehingga 7(n − 1) atau 7(n + 6). Akan tetapi 7(n + 6) − (n − 1)
= 7. Dengan kata lain, 7(n − 1) dan 7(n + 6). Oleh karena itu, diperoleh 49(n
− 1)(n + 6). Dan karena 49(n − 1)(n + 6) + 7 maka diperoleh 497 yang jelas
tidak mungkin. Jadi, terbukti tidak ada bilangan asli n sehingga 49n2 + 5n +
1.

Selain dengan cara di atas (yang menurut saya harus sedikit kreatif), ada cara
lain yang lebih umum dan mudah dilihat.Yaitu dengan bekerja pada modulo 7
dan membagi kasus. Ada 7 kasus untuk pilihan n yang mungkin yaitu

a. n  0 mod 7.

2
Sehingga n + 5n + 1  1 mod 7. Jadi, kasus ini tidak memenuhi.
b. n  1 mod 7.

2
Sehingga n + 5n + 1  1 + 5 + 1  7  0 mod 7. Jadi, kasus ini ada
kemungkinan memenuhi.

c. n  2 mod 7.

2
Sehingga n + 5n + 1  4 + 10 + 1  15  1 mod 7. Jadi, kasus ini tidak
memenuhi.

d. n  3 mod 7.

2
Sehingga n + 5n + 1  9 + 15 + 1  25  4 mod 7. Jadi, kasus ini tidak
memenuhi.

e. n  4 mod 7.
2
Sehingga n + 5n + 1  16 + 20 + 1  37  2 mod 7. Jadi, kasus ini tidak
memenuhi.

f. n  5 mod 7.

308 Wahyu