Page 313 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Solusi Olimpiade Matematika 2013

x 2 a b  2
2
OD = OB + BD  y = a b    b  x 2
2
b 2

 a b 
 y =   b  x  b  x 2
2
2
2
 b 
 y = a b  x 2
2
b
 b y = a (b – x )
2
2 2
2
2
 a x + b y = a b
2 2
2 2
2 2
 x 2  y 2  1
b 2 a 2
Sampai di sini kita telah membuktikan apa yang diminta soal. Pekerjaan
selesai. Namun cara di atas terasa panjang dan membosankan karena banyak
sekali notasi akar. Sekarang perhatikan ACP dan BDP. Kedua segitiga
tersebut ternyata sebangun. Karenanya diperoleh

2
CP BD y b  x 2
  
AP BP a b

2
 y 2  b  x 2
a 2 b
 b y = a (b – x )
2 2
2
2
2
 a x + b y = a b
2 2
2 2
2 2
 x 2  y 2  1
b 2 a 2
Terlihat lebih simpel ternyata.

x 2 y 2
Jadi, terbukti lintasan titik P berupa ellips dengan persamaan   1.
b 2 a 2

5. Terdapat tiga buah kotak A, B, dan C masingmasing berisi 3 bola berwarna
putih dan 2 bola berwarna merah. Selanjutnya dilakukan pengambilan tiga
bola dengan aturan sebagai berikut:

304 Wahyu