Page 310 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Solusi Olimpiade Matematika 2013

Perhatikan bahwa
180  AOC 180 2 ABC

CAO = ACO =   90
2 2

Selain itu
CAP = 90 – ACB

Dari kedua hasil di atas diperoleh

PAO = CAO – CAP = (90 – ABC) – (90 – ABC) = ACB – ABC

Dan karena ABC + 30  ACB berakibat PAO  30.

Sehingga diperoleh

OR = OA  sin PAO  OA .
2

Ingat kembali bahwa PQ = OR sehingga

PQ  OA = OC
2 2

Dengan menggabungkan fakta bahwa CQ < OC, CQ = CP + PQ dan PQ 
OC
dapat disimpulkan CP < PQ.
2

Sehingga diperoleh

CP < PQ < OP

Seperti apa yang diharapkan.

Jadi, terbukti COP + CAB < 90.
3. Tentukan semua bilangan asli a, b, dan c yang lebih besar dari 1 dan berbeda,
serta memenuhi sifat bahwa abc membagi habis bc + ac + ab + 2.

Jawab:

Tanpa mengurangi keumumam misalkan 1 < a < b < c. karena abc membagi
habis ab + bc + ca + 2 itu berarti terdapat bilangan asli k sedemikian sehingga

ab + bc + ca + 2 = k  abc  (1)

dari persamaan (1) diperoleh

Siap OSN Matematika SMP 2015 301