Page 311 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Solusi Olimpiade Matematika 2013

1 1 1 2
k =   
a b c abc

mengingat 1 < a < b < c diperoleh

1
k  1   1  2  14  2


2 3 4 2 3 4 12
sehingga nilai k yang mungkin hanya k = 1. Selain itu jika a  3 diperoleh

1
k  1  1   2  49  1


3 4 5 3 4 5 60
Yang jelas tak mungkin karena k bilangan asli. Jadi, diperoleh a = 2.
Dengan mengsubstitusikan nilai k = 1 dan a = 2 pada persamaan (1) diperoleh

2b + bc + 2c + 2 = 2bc

Yang setara dengan

(b – 2)(c – 2) = 6

Oleh karena itu, ada dua kasus yang mungkin yaitu

i. b – 2 = 1 dan c – 2 = 6 sehingga diperoleh b = 3 dan c = 8.
ii. b – 2 = 1 dan c – 2 = 6 sehingga diperoleh b = 3 dan c = 8.

Mudah dicek bahwa a = 2, b = 3, c = 8 dan a = 2, b = 4, c = 5 memenuhi
kondisi dari soal.

Jadi, solusi yang memenuhi adalah a = 2, b = 3, c = 8 dan a = 2, b = 4, c = 5
serta semua permutasinya (total ada 12 solusi untuk triple (a, b, c) yang
mungkin).

4. Misalkan A, B, dan P adalah paku-paku yang ditanam pada papan ABP.
Panjang AP = a satuan dan BP = b satuan. Papan ABP diletakkan pada
lintasan x x dan y y sehingga A hanya bergerak bebas sepanjang x x
1 2 1 2 1 2
lintasan dan hanya bergerak bebas sepanjang lintasan y y seperti pada
1 2
gambar berikut. Misalkan x adalah jarak titik P terhadap lintasan y y dan y
1 2
adalah terhadap lintasan x x . Tunjukkan bahwa persamaan lintasan titik P
1 2
x 2 y 2
adalah   1.
b 2 a 2

302 Wahyu