Page 308 - Buku Siap OSN Matematika SMP 2015(1)

Solusi Olimpiade Matematika 2013

A. SOAL HARI PERTAMA (SELEKSI TINGKAT NASIONAL)
(oleh Tutur Widodo)

 1 

x
1. Diketahui f adalah suatu fungsi sehingga f ( ) 2 f    3x untuk setiap x 
 x 
0. Carilah nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x)

Jawab:

1
Untuk sebarang bilangan real y  0, substitusikan nilai x = y dan x =
y
sehingga berturut-turut diperoleh
 1 
f   2y  f    3y  (1)
 
y
 1  3
f    2 f   y   (2)
  y
y
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

3 f   y  6  3y  f   y  2  y
y y

Dari sini diperoleh

2
f(x) = f(–x)  2  x    x
x x

 4  2x
x

 x = 2  (x =  2 atau x = 2 )
2
Jadi, nilai x yang memenuhi f(x) = f(–x) adalah x =  2 atau x = 2 .

2. Diketahui ABC adalah segitiga lancip dengan titik-titik sudutnya terletak pada
lingkaran yang berpusat di titik O. Titik P terletak pada sisi BC sehingga AP
adalah garis tinggi segitiga ABC. Jika ABC + 30  ACB, buktikan bahwa
COP + CAB < 90.

Jawab:

Siap OSN Matematika SMP 2015 299