Page 3 - Exo7 - Exercices de mathématiques

Indication H Correction H Vidéo [000060]

Exercice 13
2
2
2
2
Montrer que pour u,v ∈ C, on a |u+v| +|u−v| = 2(|u| +|v| ). Donner une interprétation géométrique.
Indication H Correction H Vidéo [000069]
Exercice 14
− → −→
Soit (A 0 ,A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ) un pentagone régulier. On note O son centre et on choisit un repère orthonormé (O, u , v )
− → −−→
avec u = OA 0 , qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexes C.

i A
1
A
2

A
0
O 1

A
3

A
4

k
1. Donner les affixes ω 0 ,...,ω 4 des points A 0 ,...,A 4 . Montrer que ω k = ω 1 pour k ∈ {0,1,2,3,4}. Mon-
2
4
3
trer que 1+ω 1 +ω +ω +ω = 0.
1
1
1
2
2. En déduire que cos( 2π ) est l’une des solutions de l’équation 4z + 2z − 1 = 0. En déduire la valeur de
5
cos( 2π ).
5
√
3. On considère le point B d’affixe −1. Calculer la longueur BA 2 en fonction de sin π puis de 5 (on
10
remarquera que sin π = cos 2π ).
10 5
i
4. On considère le point I d’affixe , le cercle C de centre I de rayon 1 et enfin le point J d’intersection
2 2
de C avec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puis la longueur BJ.
5. Application : Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
Correction H Vidéo [000077]
5 Trigonométrie

Exercice 15
2
2
n
Soit z un nombre complexe de module ρ, d’argument θ, et soit z son conjugué. Calculer (z+z)(z +z )...(z +
n
z ) en fonction de ρ et θ.
Indication H Correction H Vidéo [000020]
Exercice 16
En utilisant les nombres complexes, calculer cos5θ et sin5θ en fonction de cosθ et sinθ.
Indication H Correction H Vidéo [000080]

3