Page 8 - Exo7 - Exercices de mathématiques

En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pour z = 8−6i,
2 2
ω = z ⇔ (α +iβ) = 8−6i
2 2
⇔ α −β +2iαβ = 8−6i
( 2 2
α −β = 8
⇔
2αβ = −6
 2 2 p
2
2
α +β = 8 +(−6) = 10 le module de z

2
⇔ α −β = 8
2

2αβ = −6


2
2α = 18

2
⇔ β = 1

2αβ = −6

√

α = ± 9 = ±3

⇔ β = ±1


α et β de signes opposés

α = 3 et β = −1


⇔ ou

α = −3 et β = +1

Les racines de z = 8−6i sont donc ω 1 = 3−i et ω 2 = −ω 1 = −3+i.
Pour les autres :
— Les racines carrées de 1 sont : +1 et −1. √
√
— Les racines carrées de i sont : 2 (1+i) et − 2 (1+i).
2 2
— Les racines carrées de 3+4i sont : 2+i et −2−i.
— Les racines carrées de 7+24i sont : 4+3i et −4−3i.
Correction de l’exercice 6 N
1+i
Par la méthode usuelle nous calculons les racines carrées ω,−ω de z = √ , nous obtenons
2
s √ s √
2+1 2−1
ω = √ +i √ ,
2 2 2 2
qui peut aussi s’écrire :
q √ q √
1 1
ω = 2+ 2+i 2− 2.
2 2
Mais nous remarquons que z s’écrit également
i π
z = e 4
π
i
et e 8 vérifie
2
i π 2iπ i π
e 8 = e 8 = e 4 .
π
i
π
i
π
π
Cela signifie que e 8 est une racine carrée de z, donc e 8 = cos +isin π est égal à ω ou −ω. Comme cos > 0
8 8 8
i
π
alors e 8 = ω et donc par identification des parties réelles et imaginaires :
q √ q √
π 1 π 1
cos = 2+ 2 et sin = 2− 2.
8 2 8 2
8