Page 9 - Exo7 - Exercices de mathématiques

Correction de l’exercice 7 N
2
Équations du second degré. La méthode génerale pour résoudre les équations du second degré az +bz+c = 0
2
(avec a,b,c ∈ C et a 6= 0) est la suivante : soit ∆ = b −4ac le discriminant complexe et δ une racine carrée de
2
∆ (δ = ∆) alors les solutions sont :
−b+δ −b−δ
z 1 = et z 2 = .
2a 2a
Dans le cas où les coefficients sont réels, on retrouve la méthode bien connue. Le seul travail dans le cas
complexe est de calculer une racine δ de ∆.
√
2
Exemple : pour z − 3z−i = 0, ∆ = 3+4i, dont une racine carrée est δ = 2+i, les solutions sont donc :
√ √
3+2+i 3−2−i
z 1 = et z 2 = .
2 2
Les solutions des autres équations sont : √ √
1
2
1
— L’équation z +z+1 = 0 a pour solutions : (−1+i 3), (−1−i 3).
2 2
2
— L’équation z −(1+2i)z+i−1 = 0 a pour solutions : 1+i, i. √
√
√
1
1
2
— L’équation z − 3z−i = 0 a pour solutions : (2− 3+i), (−2− 3−i)
2 2
2
— L’équation z −(5−14i)z−2(5i+12) = 0 a pour solutions : 5−12i, −2i.
2
— L’équation z −(3+4i)z−1+5i = 0 a pour solutions : 2+3i, 1+i.
√
√
1
1
2
— L’équation 4z −2z+1 = 0 a pour solutions : (1+i 3), (1−i 3).
4 4
4
2
— L’équation z +10z +169 = 0 a pour solutions : 2+3i, −2−3i, 2−3i, −2+3i.
√ √ √ √ √ √ √ √
4
2
— L’équation z +2z +4 = 0 a pour solutions : 2 (1+i 3), 2 (1−i 3), 2 (−1+i 3), 2 (−1−i 3).
2 2 2 2
Correction de l’exercice 8 N
n
k
n
2
S n = 1+z+z +···+z = ∑ z .
k=0
Nous devons retrouver le résultat sur la somme S n = 1−z n+1 d’une suite géométrique dans le cas où z 6= 1 est un
1−z
réel. Soit maintenant z 6= 1 un nombre complexe. Calculons S n (1−z).
n
2
S n (1−z) = (1+z+z +···+z )(1−z) développons
2
n
2
= 1+z+z +···+z −z−z −···−z n+1 les termes intermédiaires s’annulent
= 1−z n+1 .
Donc
1−z n+1
S n = , pour z 6= 1.
1−z
Correction de l’exercice 9 N
n
n
iθ
Calcul de racine n-ième. Soit z ∈ C tel que z = 1, déjà |z| = 1 et donc |z| = 1. Écrivons z = e . L’équation
devient
0
e inθ = e = 1 ⇔ nθ = 0+2kπ, k ∈ Z ⇔ θ = 2kπ , k ∈ Z.
n
Les solution sont donc
n o
2ikπ
S = e n , k ∈ Z .
n
Comme le polynôme z −1 est de degré n il a au plus n racines. Nous choisissons pour représentants :
n o
2ikπ
S = e n , k = 0,...,n−1 .
2iπ k
De plus si ε = e n alors S = ε , k = 0,...,n−1 . Ces racines sont les sommets d’un polygone régulier à n
côtés inscrit dans le cercle unité.
9