Page 6 - Exo7 - Exercices de mathématiques

Correction de l’exercice 1 N
2
Remarquons d’abord que pour z ∈ C, zz = |z| est un nombre réel, ce qui fait qu’en multipliant le dénominateur
par son conjugué nous obtenons un nombre réel.

3+6i (3+6i)(3+4i) 9−24+12i+18i −15+30i 3 6
= = = = − + i.
3−4i (3−4i)(3+4i) 9+16 25 5 5

Calculons
1+i (1+i)(2+i) 1+3i
= = ,
2−i 5 5
et
2 2
1+i 1+3i −8+6i 8 6
= = = − + i.
2−i 5 25 25 25
Donc
2
1+i 3+6i 8 6 3 6 23 36
+ = − + i− + i = − + i.
2−i 3−4i 25 25 5 5 25 25

3
7
Soit z = 2+5i . Calculons z + z, nous savons déjà que c’est un nombre réel, plus précisément : z = − + i et
1−i 2 2
donc z+z = −3.
Correction de l’exercice 2 N
√ √
1
π
i
π
π
1. z 1 = 2e 3 = 2(cos +isin ) = 2( +i 3 ) = 1+i 3.
3 3 2 2
√ √ √ √
π
2. z 2 = 3e −i π 8 = 3cos −3isin π = 3 2+ 2 − 3i 2− 2 .
8 8 2 2
π
Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé cos π et sin π : posons θ = , alors 2θ = π et
√ 8 8 8 √ 4
2
2
1
donc cos(2θ) = 2 = sin(2θ). Mais cos(2θ) = 2cos θ − 1. Donc cos θ = cos(2θ)+1 = (2 + 2).
2 √ 2 4
1
2
2
π
Et ensuite sin θ = 1 − cos θ = (2 − 2). Comme 0 6 θ = π 6 , cosθ et sinθ sont des nombres
4 8 2
positifs. Donc
q √ q √
π 1 π 1
cos = 2+ 2 , sin = 2− 2.
8 2 8 2
Correction de l’exercice 3 N
Nous avons √ √ √ !
6− 2i √ 3 i √ π π √ −i π
u = = 2 − = 2 cos −isin = 2e 6 .
2 2 2 6 6
puis √
v = 1−i = 2e −i π 4 .
Il ne reste plus qu’à calculer le quotient :
√
u 2e −i π 6 −i +i π i π
π
= √ π = e 6 4 = e 12 .
v 2e −i 4
Correction de l’exercice 4 N
D’après la formule de Moivre pour e iα nous avons :
e e iα = e cosα+isinα = e cosα isinα .
e

Or e cosα > 0 donc l’écriture précédente est bien de la forme “module-argument”.

6