Page 7 - Exo7 - Exercices de mathématiques

iu
iv
De façon générale pour calculer un somme du type e +e il est souvent utile de factoriser par e i u+v
2 . En effet
u−v u−v
u+v
iv
iu
e +e = e i 2 e i 2 +e −i 2
2 2cos
= e i u+v u−v
2
u−v i u+v
= 2cos e 2 .
2
Ce qui est proche de l’écriture en coordonées polaires.
Pour le cas qui nous concerne :

h i
3iθ − iθ iθ θ 3iθ
2iθ
iθ
z = e +e = e 2 e 2 +e 2 = 2cos e 2 .
2
Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif! Donc si cos θ > 0 alors 2cos θ
2 2
θ
est le module de z et 3θ/2 est son argument; par contre si cos θ < 0 le module est 2|cos | et l’argument
2 2
iπ
3θ/2+π (le +π compense le changement de signe car e = −1).
Correction de l’exercice 5 N
Racines carrées. Soit z = a+ib un nombre complexe avec a,b ∈ R; nous cherchons les complexes ω ∈ C tels
2
que ω = z. Écrivons ω = α +iβ. Nous raisonnons par équivalence :
2
2
ω = z ⇔ (α +iβ) = a+ib
2
2
⇔ α −β +2iαβ = a+ib
Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :

( 2 2
α −β = a
⇔
2αβ = b

2
Sans changer l’équivalence nous rajoutons la condition |ω| = |z|.
√

2
2
2
α +β = a +b 2

2
2
⇔ α −β = a


2αβ = b
Par somme et différence des deux premières lignes :
√
 2 a+ a +b 2
2
α =
 2 √
2
⇔ β = −a+ a +b 2
2
2


2αβ = b
q √
 2 2
α = ± a+ a +b

 2
q √
⇔ β = ± −a+ a +b 2
2
 2


αβ est du même signe que b
Cela donne deux couples (α,β) de solutions et donc deux racines carrées (opposées) ω = α +iβ de z.
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