Page 34 - FORMULARIO DE ALGEBRA - BRYCE

Formulario de ÁLGEBRA

+
97 i 9 7 Operaciones en forma polar
z = ⇒ z = + i
10 10 10 a) Multiplicación:
c) Potenciación: En este caso, los módulos se multiplican y los
argumentos se suman.
Se utiliza el teorema del binomio. z = ( Cosθ 1 + iSen )
ρ
θ
1
1
1
θ
ρ
Ejemplo 1: z = ( Cosθ 2 + iSen )
2
2
2
2
( 2i + ) = 4i + 12i + 9
2
3
12 
12
=− 412i+ + 9 zz = ρρ  Cos(θ 1 + θ 2) + iSen(θ 1 + θ 2) 
= 512i+
b) División:
Ejemplo 2: En este caso, los módulos se dividen y los argu-
3
2
2
( 32− ) = 3 − ( ) () + ( )() − () 3 mentos se restan.
3
i
2i
33 2i
2i
3 3
θ
= 27 54− + i 36 −− ( ) +1 8i z = ( Cosθ 1 + iSen )
ρ
1
1
1
=− −946i z = ( Cosθ 2 + iSen )
θ
ρ
2
2
2
d) Radicación: z 1 = ρ 1  Cos(θ − θ iSen(θ − θ
En general se asume que la raíz adopta la forma z 2 ρ 2  1 2 ) + 1 2 ) 
( abi+ ) ; luego a y b se hallan por definición de
radicación.
c) Potenciación:
Ejemplo: 512+ i En este caso, el exponente eleva al módulo y
512+ i = a bi multiplica al argumento.
+
θ iSen )] = [
( [
n
(
Elevando al cuadrado: 512+ i ) = a 2 − b 2 + 2abi ρ Cos + θ n ρ Cosn θ iSenn+ θ] n
2
Igualando: 5 = a 2 − b ; 12 = 2ab d) Radicación:
Resolviendo: En este caso, se aplica la fórmula de De Moivre.
a =  + i = 3 2 i Sea: Cos +θ iSen ) θ
3
+
 ⇒ 512
b = 2
Álgebra a =−  + i =− −3 2 i n z = ρ Cos  θ + 2 k   + iSen   θ + 2 k   

z = ( ρ
3
 ⇒ 512

b =−2
π
π

n


 





n
n
.
01 23
Observación:
1±= ±i
*
1+ i 2i k = , ,,,..., ( n −1 )
n
* 1− i = i Nota: observa que z tiene "n" valores.
1− i
* =−i
1+ i
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