Page 163 - analysinew

163
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ 3

Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο χ 0 ,
τότε

1 lim [f(x) g(x)]= lim f(x) lim g(x)
x x 0 x x 0 x x 0

2 x lim [κ f(x)]= κ lim f(x), για κάθε σταθερά κ
x
x
x
0
0

3 x lim [f(x) g(x)]= lim f(x) lim g(x)
x
x
x
x
x
0 0 0
f(x) lim f(x)
4 lim = x x 0 , εφόσον lim g(x) 0
x
x
x x 0 g(x) x lim g(x) 0
x
0

5 x lim | f(x)|=| lim f(x)|
x
x
x
0 0
lim f(x)= lim f(x),
6 x x 0 x x 0
εφοσον lim f(x) 0 κοντά στο χ 0
x
x
0

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ

● Η ιδιότητα αθροίσματος και γινομένου του θεωρήματος

ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις
● lim [f (x) f (x)+... +f (x)]= lim f (x) x lim f (x)+... + lim f (x)

1
2
1
ν
2
ν
x
x
x
x
x
x
x
0
0
0
0

(1)
● lim [f (x) f (x) ... f (x)]= lim f (x) lim f (x) ... lim f (x)
2
2
ν
1
1
ν
x x 0 x x 0 x x 0 x x 0
(2)

● Όριο δ ύ ν α μ η ς συνάρτησης

lim [f(x)] =[ lim f(x)] ν © *
ν
ν
x x 0 x x 0

π ρ άγματι
x lim [f(x)] x lim [f(x)× f(x)×... × f(x) ]
x
x
0
0
ν
(2 )
= lim f(x) lim f(x) ... lim f(x)=[ lim f(x)] ν
x x 0 x x 0 x x 0 x x 0

● Όριο π ο λ υ ω ν υ μ ι κ ή ς συνάρτησης
lim P(x)= P(x ) χ 0
0
x x 0
π ρ άγματι

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017