Page 22 - Математика в ОГЭ: от статистики к практике

Математика в ОГЭ: от статистики к практике

Ответ:7√2

46. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1.

Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника

ABK к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.

Пусть площадь треугольника ABC равна S. Медиана делит треугольник на два
равновеликих треугольника, значит, S ABM=S BMC=S/2. У треугольников ABK и ABM высота,

проведенная к стороне BM общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их
основания BK и BM откуда:

S ABK=BK/BM*S ABM=4/5S ABM=2/5*S.

Проведём прямую MN, параллельную AP. Точка M – середина AC следовательно, MN –

средняя линия треугольника APC значит, PN=CN. По теореме Фалеса для угла MBC

находим: BP/PN=BK/KM=4/1, а так как PN=NC получаем, что BP/BC=4/6=2/3.
Стороны треугольников BKP и BMC сонаправлены, их площади относятся как

произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому
S BKP/S BMC=BK/BM*BP/BC=4/5*2/3=8/15,

то есть S BKP =8/15 S BMC , откуда S KPCM=7/15*S BMC=7/30*S.
Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:

S ABK / S KPCM=2/5*S / 7/30*S=2/5*30/7=12/7.

Ответ: S ABK / S KPCM= 12/7.

47. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 18. Окружность радиуса 12 с

центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и

- 22 -