Page 19 - E-MODUL ALJABAR LINEAR MATRIKS & SPL

Suatu matriks bujursangkar A = [ ] berukuran n n disebut matriks

identitas jika

{

Berikut contoh-contoh matriks identitas:

= [ ], I2 = [ ], = [ ].

Matriks-matriks di atas disebut dengan matriks identitas sebab jika
dikalikan dengan sebarang matriks yang sesuai ukurannya, tidak
mengubah matriks terkait.

Berikut adalah sifat-sifat perkalian matriks yang dikaitkan dengan operasi-
operasi yang lain, misalnya penjumlahan dan perkalian dengan bilangan
real.

Proposisi 11.9 Jika matriks A, B dan C mempunyai ukuran yang sesuai sehingga
berlaku operasi-operasi penjumlahan dan perkalian berikut dan adalah sebarang
bilangan real, maka berlaku:

(a) I A = AI = A;
(b) Sifat asosiatif, yaitu (AB)C = A(BC);

(c) Sifat distributif kiri, yaitu A(B + C) = AB + AC;
(d) Sifat distributif kanan, yaitu (B + C)A = BA + CA;

(e) (AB) = ( A)B = A( B);
(f) Jika AB = I dan CA = I, maka B = C.

Bukti.
(a) Secara mudah bisa dibuktikan bahwa I A = AI = A.

(b) Diberikan matriks A = [ ] dengan ukuran m n, matriks B = [ ]

dengan ukuran n p dan matriks C = [[ ]] dengan ukuran p s.

selanjutnya akan dibuktikan A(BC) = (A)BC. Pertama dimisalkan bahwa
entri matriks BC adalah . Kemudian entri matriks A(BC) adalah

∑ . Jadi entri ke-ij matriks A(BC) adalah sebagai berikut