Page 27 - XI_Matematika-Umum_KD-3.1

Langkah Induktif:

Untuk n = k dengan adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataanataan
h perny

) adala
k
k 1 a(r 1)
2
P(k)  a  ar  ar  ...  ar 
r 1
ataan
erny
msikan p
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benarar
+ 1)
Asu
a ben
jug
a(r k 1 1)1)
2
1
P(k  1)  a  ar  ar  ...  ar k 1  ar (k 1)1 
)
r 1
erole
h
+ 1)
dip
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh
2
2
a  ar  ar  ...  ar k 1  ar (k 1)1  a  ar  ar  ...  ar k 1  ar (k k 1)1

P(k )
k
a(r 1)
  ar (k 1)1
r 1
k
a(r 1)
  ar k
r 1
a(r 1) ar (r 1)
k
k

r 1
k
k
a(r 1  r k 1  r )

r 1
a(r k 1 1)

r 1
nilai
ber
enar
ang
Kedua ruas dari ( + 1) sama, maka ( + 1) bernilai benar. (Langkah induktif uktif
. (L

kah ind
b
selesai).
uh
uh
gk
gk
ndukti
f dipen
f dipen
ah i
ah i
ndukti
sa
sa
aka men
Karena lang
m
m
aka men
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi nduksi
insip i
insip i
nduksi
urut pr
kah da
kah da
urut pr
r d
i,
i,
an lan
an lan
Karena lang
r d
ma te ma t ika peryata an
matematika peryataan
n
n1 a(r 1)
2
P(n)  a  ar  ar  ...  ar 
r 1
n
benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh 3.
Untuk seba rang b ila ng an asli
Untuk sebarang bilangan asli ≥ 1, buktikan bahwa
( + 1)(2 + 1))
1 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + =
2
2
2
2
2
6
Jawab
ny
ada
lah per
Misalkan ( ) adalah pernyataan bahwa
ataan b
ahwa
( + 1)(2 + 1))
1 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + =
2
2
2
2
2
6
Langkah dasar.
2
1
(1) benar, karena 1 = 1(1+1)(2∙1+1) = 1∙2∙3 = 1.
6 6
Lan gk ah das ar se le sai.
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
ng
ila
b
pote
msikan hi
sl
u
Asumsikan hipotesis induktif bahwa ( ) benar untuk sebarang bilangan asli i .
ktif bahwa
ar unt
uk sebarang
sis ind
an a
ben
Asu
Sehingga hipotesis induktif ( ) adalah pernyataan bahwa
Sehing ga hi pot esis indukt if
2
2
2
2
2
⋯
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + = ( +1)(2 +1) benar.
6
26