Page 26 - XI_Matematika-Umum_KD-3.1

a
P(k  1)  a (a  b) (a  2b)  ... (a (k  1)b) (a ((k k  1)  1)b)
1 1
  (k  1)(2a ((k  1) 1)b)  (k  1)(2a  kb)
2 2
+ 1)
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh
h
dip
erole
a (a  b) (a  2b) (a (k 1)b) (a ((k  1) 1)b)
b
 a (a  b) (a  2b)  ... (a (k 1)b) (a ((k  1) 1)b)
(
P(k )

1
 k(2a (k 1)b)(a ((k  1) 1)b)

2
1
 k(2a  bk  b) (a  bk)

2
1 1

2
 ak  bk  bk  a  bk
2 2
1 1
 ak  bk  bk  a
2

2 2
1
 2ak  bk  2a  bk 
2 2
2
1
a
 (k  1)(2a  kb)
2
ang
Kedua ruas dari ( + 1) sama, maka ( + 1) bernilai benar. (Langkah induktif uktif
. (L
enar

nilai
ber
b
kah ind
selesai).
ah i
aka men
i,
sa
an lan
m
r d
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi nduksi
Karena lang kah da sa r d an lan gk ah i ndukti f dipen uh i, m aka men urut pr insip i nduksi
f dipen
uh
ndukti
Karena lang
insip i
gk
kah da
urut pr
ma te ma t ika peryata an
matematika peryataan
1
P(n)  a (a  b)(a  2b)  ... (a (n 1)b)  n(2a (n 1)b)
a
2
n
benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh 2.
untuk
membukt
membukt
untuk
ikan b
mus j
hin
hin
umlah ber
umlah ber
mus j
ahwa ru
a dari
ikan b
gg
gg
ahwa ru
Gunakan
si
ma
Gunakan induksi matematis untuk membuktikan bahwa rumus jumlah berhingga dari a dari
si

te
te
is
induk
is
induk
ma
mat
mat
Gunakan
deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah
deret g eo me tr i deng an su ku pertam a
n
n1 a(r 1)
2
a  ar  ar  ...  ar 
r 1
adalah
an asli.
Dengan r > 1 dan n adalah bilangan asli.
bilang
Jawab
n
2
Misalkan P(n)  a  ar  ar  ...  ar n1 a(r 1)


r 1
Langkah dasar:
arena
(1) b
enar, k
Untuk n = 1, P(1) benar, karena
1
a(r 1) a(r 1)
r
P(1)    a
r 1 r 1

Langkah dasar selesai.
Lan gk ah das ar se le sai.
25