Page 86 - כתב עת מתמטי - גיליון 6

‫ישר זווית ‪ 300, 600, 900‬יחס הניצבים הוא ‪ . 3‬מעתיקים את הקטע‬ ‫שהוא הפרמטר ‪.c‬‬

‫‪ yA‬שקצותיו הם הנקודות ‪ B‬ו‪ C-‬כמתואר באיור ‪.13‬‬ ‫כעת בונים משולש ישר זווית שניצב אחד שלו ‪ ,a‬היתר שלו ‪c‬‬
‫ומקבלים את אורך הניצב השני שהוא ‪ - b‬הפרמטר של הציר‬
‫בקודקוד ‪ C‬מעלים‬
‫אנך ובקודקוד ‪B‬‬ ‫המדומה‪.‬‬
‫בונים זווית של ‪.30°‬‬
‫קרן הזווית מהנקודה‬ ‫יישומון ‪ 6‬שאפשר להגיע אליו‬
‫‪ B‬חותכת את האנך‬
‫שבנקודה ‪ C‬בנקודה‬ ‫בעזרת קישור ‪ ,6‬מציג את התכונה‬
‫‪ .A‬האורך של הניצב‬
‫שמכפלת מרחקי נקודות החיתוך‬
‫איור ‪ :13‬מציאת ערכי הפרמטר של היפרבולה‬
‫של המשיק ושל הנורמל (עם הציר‬
‫‪ AC‬הוא הגודל של הפרמטר ‪ .b‬את האורך של הפרמטר ‪( c‬מיקום‬
‫המוקדים) מוצאים באותה הדרך שזה נעשה בסעיף ג‪.2‬‬ ‫הממשי) מראשית הצירים‪ ,‬הוא‬

‫הערה מתודית‬ ‫גודל קבוע השווה לריבוע מרחק‬

‫ביצוע הבניות התאפשר בעזרת התכונות המיוחדות של המקומות‬ ‫המוקד (‪ )c2‬כשנקודת ההשקה ‪A‬‬
‫הגאומטריים‪ .‬גם לנו כמי שעוסקים בחינוך מתמטי לא כולן היו‬
‫ידועות מלכתחילה‪ .‬רק כאשר עמדנו לפני מבוי סתום להמשך‬ ‫איור ‪ :10‬מציאת ערכי‬ ‫נעה על ההיפרבולה‪ .‬כשגוררים‬
‫הבניות‪ ,‬פנינו לספרי הלימוד ומצאנו בהם תכונות לא מוכרות שרק‬ ‫הפרמטרים ‪ b‬ו‪ c-‬של היפרבולה‬ ‫את הנקודה ‪ Q‬ערך מכפלת‬
‫בעזרתן הצלחנו להתמודד עם האתגר של הבניות‪ .‬אין לנו ספק שיש‬
‫עוד תכונות המאפשרות לבצע את הבניות בדרכים אחרות‪ .‬מכל‬ ‫המרחקים נשארת קבועה‪.‬‬
‫מקום ראוי לבקש מהתלמידים לנסות לאתר תכונות אחרות בספרי‬
‫הלימוד ובמאמרים בנושא או בהעלאת השערות ובדיקתן לשם‬ ‫קישור ‪ :6‬מכפלה קבועה של קטעים על ציר ההיפרבולה‬
‫אישור באמצעות תוכנה גאומטרית דינמית‪ .‬אך כמקובל‪ ,‬אין‬
‫להסתפק בתוכנה הגאומטרית ויש להוכיח כל תכונה ותכונה בדרך‬ ‫‪Link 6: https://www.geogebra.org/m/jB24sajs‬‬

‫הפורמלית כמקובל במתמטיקה‪.‬‬ ‫ג‪ :3‬מציאת ערכי הפרמטרים ‪ b‬ו‪ c-‬של היפרבולה על סמך‬

‫סיכום‬ ‫שלושה משיקים‬

‫הוצגו דרכים מגוונות לביצוע בניות הנדסיות בשלושה מקומות‬ ‫בונים משיק בנקודה כלשהי‬
‫גאומטריים שמופיעים בתוכניות הלימוד של החינוך העל‪-‬יסודי‪.‬‬ ‫‪ ,A‬וכן את שני המשיקים‬
‫ביצוע הבניות הסתמך על התכונות המיוחדות שלהם וכדי להבליט‬ ‫בקודקודי ההיפרבולה כמתואר‬
‫אותן‪ ,‬שולבו קישורים ליישומונים המאפשרים לקורא לבצע חקר‬ ‫באיור ‪ .11‬המשיק בנקודה ‪A‬‬
‫חותך את המשיקים שעוברים‬
‫דינמי שלהן‪.‬‬ ‫בקודקודים בנקודות ‪ P‬ו‪.Q-‬‬
‫על פי תכונה ידועה ממוקדי‬
‫רשימת מקורות‬ ‫ההיפרבולה רואים את הקטע‬
‫‪ PQ‬בזווית ישרה‪ .‬על הקטע‬
‫גבע י' (‪ .)1996‬מתמטיקה ל‪ 5-‬יחידות (כרך ג)‪ .‬תל‪-‬אביב‪ :‬המחבר‪.‬‬ ‫‪ PQ‬כקוטר בונים מעגל החותך איור ‪ :11‬מציאת ערכי הפרמטרים ‪ b‬ו‪c-‬‬
‫את הציר הממשי בנקודות ‪ F1‬של היפרבולה על סמך שלושה משיקים‬
‫גורן‪ ,‬ב' (‪ .)2005‬גיאומטריה אנליטית (‪ 5‬יחידות לימוד)‪ .‬תל‪-‬אביב‪:‬‬ ‫ו‪ F2-‬שהם מוקדי ההיפרבולה‪.‬‬
‫המחבר‪.‬‬
‫כעת בונים משולש ישר‪-‬זווית שניצב אחד שלו ‪ a‬והיתר ‪( c‬אורך‬
‫מן‪ ,‬א' (‪ .)1987‬סרגל ומחוגה‪ .‬על"ה‪ :‬עלון למורי המתמטיקה‪,3 ,‬‬ ‫הקטע ‪.) F2O = c‬‬
‫‪.15-11‬‬
‫הניצב האחר הוא הפרמטר ‪.b‬‬
‫סטופל‪ ,‬מ' ואוקסמן‪ ,‬ו' (‪ .)1996‬בניות הנדסיות ככלי לפיתוח‬
‫החשיבה והיצירתיות‪ .‬שאנן‪ ,‬ב‪.108-95 ,‬‬ ‫יישומון ‪ 7‬שאפשר להגיע אליו בעזרת קישור ‪ ,7‬מדגים את התכונה‬
‫כי ממוקדי ההיפרבולה רואים ב‪ 90°-‬את הקטע הנחתך ממשיק בידי‬
‫סטופל‪ ,‬מ' ואוקסמן‪ ,‬ל' (‪ .)1998‬עוד על בניות הנדסיות ייחודיות‪.‬‬ ‫שני משיקים להיפרבולה בקודקודיה‪ .‬כשגוררים את הנקודה ‪ A‬על‬
‫שאנן‪ ,‬ד‪.264-249 ,‬‬
‫גבי ההיפרבולה‪ +PF2Q ,‬נשארת קבועה ‪.90°‬‬
‫סטופל‪ ,‬מ' וחריר‪ ,‬ש' (‪" .)2008‬יפה היא הגאומטריה" – חיזוק‬
‫ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון לאותה משימה‪ .‬שאנן‪,‬‬ ‫קישור ‪ :7‬מבט ממוקדי ההיפרבולה על קטע הנחתך ממשיק‬
‫להיפרבולה‬
‫יג‪.271-255 ,‬‬
‫‪Link 7: https://www.geogebra.org/m/PsJ3bsZu‬‬
‫סטופל‪ ,‬מ' ומוגילבסקי‪ ,‬ר' (‪ .)2004‬הדגמת דרכי‪-‬פתרון שונות‬
‫לארבע משימות הנדסיות‪ .‬שאנן‪ ,‬ט‪ ,‬עמ' ‪.384-367‬‬ ‫ג‪ :4‬מציאת ערכי הפרמטרים ‪ b‬ו‪ c-‬של היפרבולה ללא משיקים‬

‫סטופל‪ ,‬מ'‪ ,‬זיסקין‪ ,‬ק' ובן‪-‬חיים‪ ,‬ד' (עורכים)‪ .)2015( .‬בניות‬ ‫לאחר מציאת הערך של ‪ a‬מוצאים את ערך ‪ y‬של נקודה ‪ A‬שעל‬
‫גיאומטריות‪ :‬בעיות ‏קלאסיות‏‪ ,‬‏אתגריו ‏ת ‏וממוחשבות‏‪.‬‬ ‫ההיפרבולה שערך ה‪ x-‬שלה הוא ‪ 2a‬כמתואר באיור ‪.12‬‬

‫חיפה‪ :‬שאנן – המכללה האקדמית הדתית לחינוך‪.‬‬ ‫כשמציבים את ערכי הנקודה ‪ A‬במשוואת ההיפרבולה מקבלים‪:‬‬

‫‪Henkin, L., & Leonard, W. A. (1978). A Euclidean construction? Mathe-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒ ‪=1‬‬ ‫‪yA2‬‬ ‫⇒ ‪=3‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪=3‬‬
‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪b‬‬
‫‪. ‬‬

‫למציאת הערך ‪ b‬של משתמשים בתכונה גאומטרית ידועה שבמשולש‬

‫‪│84‬גיליון ‪ – 6‬מחקר ועיון בחינוך מתמטי‬