Page 84 - כתב עת מתמטי - גיליון 6

‫השווה לפרמטר של הפרבולה‪ ,‬כאשר גוררים את הנקודה ‪ E‬על גבי‬ ‫של פרמטר הפרבולה ‪ p‬בעזרת סרגל הפרמטר‪.‬‬
‫הפרבולה‪.‬‬

‫קישור ‪ :3‬אורך קבוע של היטל נורמל הפרבולה‬ ‫קישור ‪ :1‬ישר המחבר אמצעי מיתרים מקבילים בפרבולה‬
‫‪Link 3: https://www.geogebra.org/m/E9VFPCkQ‬‬ ‫‪Link 1: https://www.geogebra.org/m/csdNrzft‬‬

‫דרך ג'‪ :‬מציאת מיקום המוקד בעזרת אנך אמצעי למיתר‪.‬‬ ‫א‪ :2‬מציאת מיקום מוקד‬
‫הפרבולה‬
‫מעבירים מיתר כלשהו ‪ AB‬ובונים לו אנך אמצעי בנקודה ‪ M‬שעליו‬
‫דרך א'‪ :‬מציאת מיקום המוקד‬
‫כמוצג באיור ‪ .5‬האנך האמצעי חותך את ציר הפרבולה בנקודה ‪.R‬‬ ‫בעזרת קו ישר‪ .‬בקודקוד ‪K‬‬
‫מעבירים קו ישר שהמשוואה‬
‫מהנקודה ‪ M‬מורידים אנך ‪ MG‬לציר הפרבולה‪ .‬על פי תכונה ידועה‪,‬‬ ‫שלו ‪ . y = x‬ישר זה חותך‬

‫האורך של‬

‫הקטע ‪ GR‬הוא‬ ‫את הפרבולה ‪y2 = 2px‬‬
‫בנקודה )‪ , A (2p, 2p‬כמתואר‬
‫‪ – p‬הפרמטר‬

‫של הפרבולה‪.‬‬ ‫איור ‪ :3‬מציאת המוקד של פרבולה‬

‫למציאת המוקד‪,‬‬

‫חגים קשת‬ ‫באיור ‪.3‬‬
‫‪GR‬‬
‫‪2‬‬ ‫ברדיוס‬

‫מהנקודה ‪.K‬‬ ‫מהנקודה ‪ A‬מורידים אנך ‪ AG‬לציר הפרבולה‪ .‬אורך הקטע‬

‫יישומון מספר ‪4‬‬ ‫‪ . KG = 2p‬את הקטע ‪ KG‬מחלקים לארבעה קטעים שווים בעלי‬
‫‪P‬‬
‫שאפשר להגיע‬ ‫‪ ,‬הנקודה ‪ F‬היא מיקום המוקד‪.‬‬ ‫= ‪KF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אורך‬
‫אליו בעזרת‬
‫איור ‪ :5‬מציאת מוקד הפרבולה‬ ‫קישור ‪ ,4‬מדגים‬ ‫דרך ב'‪ :‬מציאת מיקום המוקד בעזרת משיק ונורמל‪.‬‬
‫בעזרת אנך אמצעי למיתר‬

‫את התכונה‬ ‫ידועה התכונה שהמשיק לפרבולה בנקודה ‪ E‬שעליה חותך את ציר‬

‫שההיטל ‪ GR‬של הקטע ‪ MR‬על ציר הפרבולה‪ ,‬הוא גודל קבוע‬ ‫הפרבולה בנקודה ‪ L‬באופן ש‪ KG = KL -‬כמתואר באיור ‪.4‬‬

‫כאשר גוררים את הנקודה ‪ B‬על גבי הפרבולה ובתנאי שהמיתר ‪AB‬‬ ‫מהנקודה ‪ K‬חגים‬

‫אינו ניצב לציר הפרבולה‪ .‬ניתן לשנות בסרגל את הפרמטר של‬ ‫מעגל ברדיוס ‪KG‬‬

‫הפרבולה ובכל שלב מופיעים ערכי ‪ p‬ו‪ GR-‬על המסך‪.‬‬ ‫ומתקבלת הנקודה‬

‫‪ .L‬מעבירים את‬

‫המשיק ‪.EL‬‬

‫קישור ‪ :4‬אורך קבוע של היטל אנך אמצעי למיתר בפרבולה‬ ‫בנקודה ‪ E‬בונים‬

‫‪Link 4: https://www.geogebra.org/m/Y7RREbJU‬‬ ‫את הנורמל‬

‫דרכים אחרות (ללא תיאור בנייה ואיורים)‬ ‫למשיק הפרבולה‬

‫‪ .1‬מעבירים בפרבולה שני מיתרים מאונכים זה לזה‪ .‬תהיינה ‪M‬‬ ‫שחותך את ציר‬

‫ו‪ N-‬נקודות האמצע של המיתרים‪ ,‬אזי‬ ‫הפרבולה בנקודה‬

‫פי‬ ‫‪⇒y‬ו‪=y−Np-2‬וב‪N‬נ‪y‬יי⋅ת‪M‬ה‪y‬מ ומוהצבענייהההנמדסתיבצשעלתהםע‪.‬ל‬ ‫‪p‬‬ ‫‪=− yM‬‬ ‫‪⋅ yN‬‬ ‫‪ .R‬הקטע ‪– GR‬‬

‫‪M‬‬ ‫הגדלים‬ ‫ערכי‬ ‫איור ‪ :4‬מציאת מוקד הפרבולה‬ ‫היטל הנורמל על‬
‫בעזרת משיק ונורמל‬ ‫ציר הסימטריה‪,‬‬
‫הוא כידוע האורך‬
‫‪ . 2‬תהא ‪ A‬נקודה כלשהי על הפרבולה‪ .‬האנך מ‪ A-‬לציר ה‪ y-‬חותך‬
‫את ציר ‪ y‬בנקודה ‪ .B‬האנך מהנקודה ‪ B‬לישר ‪ – AO‬ראשית‬ ‫‪GR‬‬ ‫‪p‬‬ ‫של פרמטר‬
‫הצירים) חותך את ציר ה‪ x-‬בנקודה ‪ C‬ששיעוריה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫והיא‬ ‫‪r‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫הפרבולה ‪ .p‬מהנקודה ‪ K‬חגים קשת ברדיוס‬
‫(‪.C(2p,0‬‬
‫חותכת את ציר הסימטריה בנקודה ‪ F‬שהיא מוקד הפרבולה‪.‬‬
‫‪ .3‬תהא ‪ A‬נקודה כלשהי על הפרבולה‪ .‬ידועה התכונה שאם המשיק‬
‫לפרבולה בנקודה ‪ A‬חותך את ציר ה‪ y-‬בנקודה ‪ ,B‬אזי‬ ‫הערה‪ :‬מאחר שהמשולש ‪ ΔEFL‬הוא שווה שוקיים‪ ,‬מספיק לבנות‬
‫‪ F( +ABF = 900‬מוקד הפרבולה)‪ .‬בונים אנך לקטע ‪ AB‬דרך‬ ‫אנך אמצעי לקטע ‪ ,LE‬שחותך את ציר הסימטריה בנקודת המוקד‪.‬‬

‫הנקודה ‪ .B‬אנך זה חותך את ציר הסימטריה בנקודת המוקד‪.‬‬ ‫יישומון מספר ‪ 2‬שאפשר להגיע אליו בעזרת קישור ‪ ,2‬מדגים את‬
‫תכונת שימור אורכי הקטעים ‪ LK=KG‬כאשר הנקודה ‪ E‬נעה על גבי‬
‫הערה‪ :‬דרכי הבנייה המגוונות שהוצגו למשימה המוזכרת לעיל‪ ,‬וכן‬ ‫הפרבולה‪ .‬בעזרת סרגל הפרמטר אפשר לשנות את הפרמטר של‬
‫אלו שנשתמש בהן בשתי המשימות להלן‪ ,‬מציגות את יופייה של‬
‫המתמטיקה ויש בהן השלמה למאמרים שהוצגו בהם דרכי הוכחה‬ ‫הפרבולה‪.‬‬
‫מגוונות לאותה משימה מתמטית‪ ,‬אם בשימוש בכלים מאותו התחום‬
‫אם בשילוב של כלים מתחומים אחרים‪ .‬בכך מודגמת התפיסה כי‬ ‫קישור ‪ :2‬שוויון קטעים על ציר הפרבולה‬
‫המתמטיקה היא כעץ ענק שענפיו משתלבים זה בזה (סטופל וחריר‪,‬‬ ‫‪Link 2: https://www.geogebra.org/m/MUdTrapS‬‬
‫‪ ;2008‬סטופל ומוגילבסקי‪Henkin & Loonard, 1978; ;2004 ,‬‬ ‫יישומון מספר ‪ 3‬שאפשר להגיע אליו בעזרת קישור ‪ ,3‬מדגים את‬
‫התכונה שאורך היטל הנורמל על ציר הפרבולה הוא גודל קבוע‬
‫‪.)Leikin, 2009; Stupel & Ben-Chaim, 2013b‬‬
‫‪│82‬גיליון ‪ – 6‬מחקר ועיון בחינוך מתמטי‬