Page 85 - כתב עת מתמטי - גיליון 6

‫משימה ג'‪:‬‬ ‫משימה ב'‪ :‬מציאת צירי הסימטריה וערכי הפרמטרים של אליפסה‬
‫באיור ‪ 6‬נתונה אליפסה ללא סימון צירי הסימטריה שלה‪.‬‬
‫ג‪ :1‬מציאת אורך הציר הממשי של היפרבולה – ערך הפרמטר ‪a‬‬
‫תיאור הבנייה‬
‫גם במקרה זה נתונה היפרבולה ללא סימון צירי הסימטריה‪ .‬מציאת‬
‫נקודת מרכז ההיפרבולה (נקודת מפגש הצירים) ושרטוט הצירים‬ ‫בונים באליפסה זוג מיתרים מקבילים (‪ AB‬ו‪ )CD-‬ונקודות האמצע‬
‫עצמם‪ ,‬נעשית באותה הדרך ובהתבסס על אותן התכונות שבעזרתן‬ ‫שלהם‪.‬‬
‫נמצאו צירי האליפסה (משימה ב')‪ .‬באשר למציאת שאר הפרמטרים‬
‫בונים זוג מיתרים מקבילים נוסף (‪ EG‬ו‪ )HI-‬ונקודות האמצע‬
‫(‪ b‬ו‪ ,)c-‬קיים קושי שלא היה במקרה של אליפסה‪.‬‬ ‫שלהם‪.‬‬

‫את הפרמטר ‪ a‬מקבלים מנקודת החיתוך של ההיפרבולה עם הציר‬ ‫מיתרים אלו אינם מקבילים לזוג המיתרים הראשון‪.‬‬
‫הממשי (ציר ה‪ ,)x-‬כמתואר באיור ‪.8‬‬

‫את הפרמטר ‪ b‬אי אפשר למצוא כי ההיפרבולה לא חותכת את הציר‬ ‫על פי תכונה ידועה של אליפסה‪" :‬אמצעי מיתרים מקבילים נמצאים‬
‫המדומה (ציר ה‪.)y-‬‬ ‫על קו ישר העובר דרך מרכז האליפסה"‪ ,‬מעבירים את שני הישרים‬
‫המחברים את אמצעי המיתרים והם נחתכים בנקודה ‪ O‬שהיא מרכז‬
‫למציאת הפרמטרים ‪ b‬ו‪ c-‬יש לבנות משיק להיפרבולה‪.‬‬
‫האליפסה (ראה איור ‪.)6‬‬
‫תיאור בניית משיק להיפרבולה בנקודה כלשהי עליה‪:‬‬ ‫מהנקודה ‪ – O‬מרכז האליפסה‪,‬‬
‫חגים מעגל עם רדיוס כזה שיחתוך‬
‫תהא הנקודה (‪ A(xA,yA‬נקודה על ההיפרבולה ובנקודה זו רוצים‬ ‫את האליפסה בארבע נקודות‬
‫לבנות משיק להיפרבולה (ראה איור‬ ‫‪ A,B,C,D‬כמתואר באיור ‪.7‬‬
‫‪.)8‬‬ ‫נקודות אלו (בשל הסימטריה של‬
‫האליפסה ביחס לציריה) הם איור ‪ :6‬מציאת מרכז האליפסה‬
‫משוואת המשיק היא‬ ‫הקודקודים של מלבן שצלעותיו‬

‫והוא חותך את‬ ‫‪xA ⋅ x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪yA ⋅ y‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫מקבילות לצירי‬
‫‪a2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫האליפסה‪.‬‬

‫איור ‪ :8‬מציאת הציר הממשי‬ ‫ציר ה‪ x-‬בנקודה )‪. B(xB ,0‬‬ ‫מחברים את אמצעי‬
‫של היפרבולה‬ ‫הצלעות הנגדיות של‬
‫על פי משוואת המשיק מקבלים‬ ‫המלבן ומתקבלים צירי‬
‫הסימטריה של‬
‫‪. xB ⋅ xA = a2 ⇒ a = xB ⋅ xA‬‬ ‫איור ‪ :7‬מציאת המוקדים של אליפסה‬ ‫האליפסה‪ .‬צירים אלו‬
‫תיאור הבנייה של הקטע ‪: xB‬‬ ‫חותכים את האליפסה‬
‫מעתיקים את הקטע ‪xA‬‬ ‫בנקודות ‪K, I, N, G‬‬
‫שהן נקודות הקצה של‬
‫ומסמנים את קצותיו ‪K, L‬‬
‫(ראה איור ‪.)9‬‬ ‫צירי האליפסה‪.‬‬

‫איור ‪ :9‬מציאת אורך הציר הממשי של‬ ‫בנקודה ‪ L‬בונים אנך‬ ‫לכן‪ – a = ON ,‬פרמטר של הציר הגדול של האליפסה; ‪b = OI‬‬
‫היפרבולה‬ ‫– פרמטר של הציר הקטן של האליפסה‪.‬‬
‫שאורכו ‪ .a‬מתקבל משולש‬
‫ישר זווית ‪. ∆KLM‬‬ ‫לפי הגדרת האליפסה ‪ r1 + r2 = 2a‬כאשר ‪ r1‬ו‪ r2 -‬הם הרדיוסים‬
‫היוצאים מהמוקדים‪ .‬עבור הנקודה ‪ I‬מתקיים ש‪ . r1 = r2 = a -‬לכן‬
‫בנקודה ‪ M‬בונים אנך לישר ‪ KM‬החותך את המשך ‪ KL‬בנקודה ‪.N‬‬ ‫מנקודה זו חגים קשת ברדיוס ‪ a‬החותכת את הציר הגדול של‬

‫אורך הקטע ‪ LN‬הוא ‪ xB‬ומאחר שהמשולש ‪ ∆KLM‬הוא ישר‬ ‫האליפסה בשתי נקודות שהם המוקדים שלה ( ‪ F1‬ו‪ F2 -‬באיור ‪.)7‬‬

‫זווית אזי ‪ a‬הוא הממוצע הגאומטרי של ‪. xB , xA‬‬ ‫יישומון ‪ 5‬שאפשר להגיע אליו בעזרת קישור ‪ ,5‬מדגים את התכונה‬
‫שאמצעי מיתרים מקבילים באליפסה נמצאים על ישר אחד שעובר‬
‫על סמך אורכי הקטעים ‪ xA‬ו‪ xB -‬אפשר לבנות את המשיק‪.‬‬ ‫דרך מרכז האליפסה‪ .‬באמצעות גרירה הנקודה ‪ A‬או הנקודה ‪ E‬על‬
‫האליפסה אפשר לשנות את הזוויות של המיתרים‪ .‬בגרירת הנקודות‬

‫‪ C‬או ‪ H‬אפשר לשנות את המרחק בין המיתרים המקבילים‪.‬‬

‫ג‪ :2‬מציאת ערכי הפרמטרים ‪ b‬ו‪ c-‬של היפרבולה על סמך משיק‬ ‫קישור ‪ :5‬ישרים המחברים אמצעי מיתרים מקבילים באליפסה‬
‫ונורמל‬ ‫‪Link 5: https://www.geogebra.org/m/y4NjzNuB‬‬

‫בוחרים על ההיפרבולה נקודה כלשהי ‪ A‬ובנקודה זו בונים משיק‬
‫ונורמל והם חותכים את צירה הממשי בנקודות ‪ Q‬ו‪ R-‬בהתאמה‬

‫כמתואר באיור ‪.10‬‬
‫לפי תכונה ידועה ‪ OQ $ OR = c2‬כאשר ‪ – O‬נקודת מפגש הצירים‪.‬‬

‫מכאן ‪. c = OQ $ OR‬‬

‫על‪-‬פי אורכי הקטעים ‪ Q‬ו‪ OR-‬בונים את הממוצע הגאומטרי שלהם‬

‫מחקר ועיון בחינוך מתמטי – גיליון ‪83│6‬‬