Page 14 - ระบบจำนวน

สมบัติบางประการของจ านวนเฉพาะ

• ถ้า p เป็นจ านวนเฉพาะ และ p หาร ab ลงตัวแล้ว p หาร a ลง

ตัว หรือ p หาร b ลงตัว ประพจน์นี้พิสูจน์โดยยุคลิด และมีชื่อ

เรียกว่า บทตั้งของยุคลิด ใช้ในการพิสูจน์เรื่องการแยกตัว

ประกอบได้อย่างเดียว

• ถ้า p เป็นจ านวนเฉพาะ และ a เป็นจ านวนเต็มใดๆแล้ว ap − a

หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์)

• จ านวนเต็ม p > 1 เป็นจ านวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ (p − 1) ! + 1

หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทของวิลสัน). บทกลับ, จ านวนเต็ม n

> 4 เป็นจ านวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ (n − 1) ! หารด้วย n ลงตัว

• ถ้า n เป็นจ านวนเต็มบวกแล้ว จะมีจ านวนเฉพาะ p ที่ n < p <

2n (สัจพจน์ของเบอร์แทรนด์)

• ส าหรับจ านวนเฉพาะ p > 2 จะมีจ านวนธรรมชาติ n ที่ท าให้ p

= 4n ± 1

• ส าหรับจ านวนเฉพาะ p > 3 จะมีจ านวนธรรมชาติ n ที่ท าให้ p

= 6n ± 1