Page 32 - MFB22侯國弘NEW

附錄: Markowitz 模型

Markowitz (1952)提出的投資組合模型，又稱為均值-變異數投資

組合模型，該模型為現代投資理論的基礎。此模型是建立在給定報酬

下，極小化風險值來達到「最適配置」的資產優化配置模型，其目標

限制式如下：

1
min   w Σw (1)
2
T
w p 2
. E(w r)= ，
s t T 

T
w 1  1，

1
2
其中  為投資組合報酬的變異數，n 為資產個數，w 為 n 之資
p
1
產權重矩陣， Σ 為 n n  之資產報酬共變異矩陣，r 為 n 之資產

1
1

T
報酬率矩陣，E(w r )  為 n 之資產預期報酬率向量，1 為 n 之
每一項皆為 1 的向量。其經濟意義是投資者可以先設立一個預期報

酬，並透過調整資產間的投資權重，使投資組合整體風險最小。

上述目標限制式 (1) 可藉由拉格朗日 (Lagrange multiplier) 求
得。首先，我們將 (1) 式改寫為拉格朗日展開多項式，可得：

1

T
T
w
 w Σ +  (1 w 1 )  (  E(w T r )) (2)
2 1 2
再從 (2) 式分別對 w 及拉格朗日常數  、 進行偏微分，並令其
1
2
偏微分等於 0，可得：

  1 w 1  0； T  w 1 1， (3)
T
 
1
    T )  ； T 
  2 E(w r 0 E(w r )  ， ( 4 )
    
1
0
r
1
 W 2 2Σw   1 2 E( )  。 (5)
25